El triángulo de Pascal es un patrón numérico dispuesto en forma triangular. Este triángulo proporciona los coeficientes para la expansión de cualquier expresión binomial, con números organizados de manera que formen una forma triangular. es decir, la segunda fila del triángulo de Pascal representa los coeficientes en (x+y)²etcétera.

En el triángulo de Pascal, cada número es la suma de los dos números anteriores. El triángulo de Pascal tiene varias aplicaciones en teoría de la probabilidad, combinatoria, álgebra y otras ramas de las matemáticas.

Aprendamos más sobre El triángulo de Pascal, su construcción y varios patrones en el Triángulo de Pascal se detallan en este artículo.

Tabla de contenidos

• ¿Qué es el triángulo de Pascal?
• ¿Qué es el triángulo de Pascal?
• Definición del triángulo de Pascal
• Construcción del triángulo de Pascal
• Fórmula del triángulo de Pascal
• Expansión binomial del triángulo de Pascal
• ¿Cómo utilizar el triángulo de Pascal?
• Patrones de triángulos de Pascal
• Adición de filas
• Números primos en el triángulo de Pascal
• Diagonales en el triángulo de Pascal
• Secuencia de Fibonacci en el triángulo de Pascal
• Propiedades del triángulo de Pascal
• Ejemplos del triángulo de Pascal

¿Qué es el triángulo de Pascal?

Lleva el nombre del famoso filósofo y matemático Balise 'Pascal', quien desarrolló un patrón de números que comienza con 1 y los números que aparecen debajo son la suma de los números anteriores. Primero, escribe el número 1 para empezar a hacer el triángulo de Pascal. La segunda fila se vuelve a escribir con dos unos. Otras filas se generan usando las filas anteriores para formar un triángulo de números. Cada fila comienza y termina con un 1.

En la imagen agregada a continuación se muestra una estructura básica del triángulo de Pascal.

¿Qué es el triángulo de Pascal?

Definimos el triángulo de Pascal como el conjunto básico de números dispuestos en una matriz triangular de modo que cada elemento del triángulo de Pascal es la suma de los dos números que están encima de él. El triángulo de Pascal comienza con 1 y fue propuesto por primera vez por el famoso matemático francés Balise Pascal y de ahí el nombre de Triángulo de Pascal.

Este triángulo representa los coeficientes de la expansión binomial para varias potencias. (Tenemos que asegurarnos de que la potencia en la expansión binomial sea solo un número natural, entonces solo el triángulo de Pascal representa los coeficientes en la expansión binomial).

Definición del triángulo de Pascal

El Triángulo de Pascal es una matriz triangular de números en la que cada número es la suma de los dos directamente encima de él.

Construcción del triángulo de Pascal

Podemos construir fácilmente el triángulo de Pad=scal simplemente sumando los dos números de la fila anterior para obtener el siguiente número en la fila de abajo. Podemos suponer que la fila cero comienza con un solo elemento 1 y luego el elemento de la segunda fila es 1 1 que se forma sumando 1+0 y 1+0. De manera similar, los elementos de la segunda fila son, 1 2 1 2, que se forman sumando, 1+0, 1+1 y 1+0, y así se obtienen los elementos de la tercera fila. Ampliando este concepto a la enésima fila obtenemos un Triángulo de Pascal con n+1 filas.

El Triángulo de Pascal hasta la tercera fila se muestra en la imagen de abajo,

En la figura anterior, observamos fácilmente que el primer y último elemento de cada fila es 1.

Fórmula del triángulo de Pascal

La fórmula del triángulo de Pascal es la fórmula que se utiliza para encontrar el número que se va a completar en la columna m y en la fila enésima. Como sabemos, los términos del triángulo de Pascal son la suma de los términos de la fila anterior. Por lo tanto, requerimos los elementos en la (n-1)ésima fila y las (m-1)ésima y enésima columnas para obtener el número requerido en la mésima columna y la enésima fila.

Leer en detalle: Fórmula del triángulo de Pascal

Se dan los elementos de la enésima fila del triángulo de Pascal,^norteC₀,^norteC₁,^norteC₂, …,^norteC_norte.

La fórmula para encontrar cualquier número en el triángulo de Pascal es:

^norte cm = ^n-1 C _m-1 + ^n-1 C _metro

Dónde,

• ^norte C _metro representa el (m+1)ésimo elemento de la enésima fila., y
• norte es un número entero no negativo [0 ≤ m ≤ n]

Podemos entender esta fórmula usando el ejemplo que se analiza a continuación,

Ejemplo: encuentre el tercer elemento en la tercera fila del triángulo de Pascal.

Solución:

Tenemos que encontrar el tercer elemento en la tercera fila del triángulo de Pascal.

La fórmula del triángulo de Pascal es,

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^norteC_k=^n-1C_k-1+^n-1C_k

dónde^norteC_krepresentar (k+1)^thelemento en m^thfila.

Por tanto, el tercer elemento de la tercera fila es,

³C₂=²C₁+²C₂

⇒³C₂= 2 + 1

⇒³C₂= 3

Por tanto, el tercer elemento de la tercera fila del triángulo de Pascal es 3.

Expansión binomial del triángulo de Pascal

Podemos encontrar fácilmente el coeficiente de la expansión binomial usando el triángulo de Pascal. Los elementos en la (n+1)ésima fila del triángulo de Pascal representan el coeficiente de la expresión expandida del polinomio (x + y)^norte.

Sabemos que la expansión de (x + y)^nortees,

(x + y)^norte= un₀X^norte+ un₁X^n-1y + a₂X^n-2y²+ … + un_n-1xy^n-1+ un_nortey^norte

Aquí un₀, a₁, a₂, a₃, …., a_norteson el término en la (n+1)ésima fila del Triángulo de Pascal

Por ejemplo, vea la expansión de (x+y)⁴

(x + y)⁴=⁴C₀X⁴+⁴C₁X³y +⁴C₂X²y²+⁴C₃xy³+⁴C₄X⁰y⁴

⇒ (x + y)⁴= (1)x⁴+ (4)x³y + (6)x²y²+ (4)xy³+ (1)y⁴

Aquí, los coeficientes 1, 4, 6, 4 y 1 son los elementos de la cuarta fila del Triángulo de Pascal.

¿Cómo utilizar el triángulo de Pascal?

Usamos el triángulo de Pascal para encontrar los distintos casos de resultados posibles en condiciones de probabilidad. Esto se puede entender con el siguiente ejemplo: al lanzar una moneda una vez obtenemos dos resultados, es decir, H y T, esto está representado por el elemento de la primera fila del Triángulo de Pascal.

De manera similar, al lanzar una moneda dos veces obtenemos tres resultados, es decir, {H, H}, {H, T}, {T, H} y {T, T}. Esta condición está representada por el elemento de la segunda fila del Triángulo de Pascal.

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Por lo tanto, podemos determinar fácilmente el número posible de resultados al lanzar un experimento de moneda simplemente observando los elementos respectivos en el Triángulo de Pascal.

La siguiente tabla nos informa sobre los casos en los que se lanza una moneda una vez, dos veces, tres veces y cuatro veces, y su concordancia con el Triángulo de Pascal.

Patrones de triángulos de Pascal

Observamos varios patrones en el triángulo de Pascal que son:

• Adición de filas
• Números primos en triángulo
• Diagonales en el triángulo de Pascal
• Patrón de Fibonacci

Adición de filas

Al observar de cerca el Triángulo de Pascal, podemos concluir que la suma de cualquier fila en el triángulo de Pascal es igual a una potencia de 2. La fórmula para lo mismo es, Para cualquier (n+1)^thfila en el Triángulo de Pascal la suma de todos los elementos es, 2^norte

Aplicando esta fórmula en las primeras 4 filas del triángulo de Pascal obtenemos,

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1 = 1 = 2⁰

1 + 1 = 2 = 2¹

1 + 2 + 1 = 4 = 2²

1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 2³

Números primos en el triángulo de Pascal

Otro patrón muy interesante en el triángulo de Pascal es que si una fila comienza con un número primo (despreciando 1 al comienzo de cada fila), entonces todos los elementos de esa fila son divisibles por ese número primo. Este patrón no es válido para los números compuestos.

Por ejemplo, la octava fila del triángulo de Pascal es,

1 7 21 35 35 21 7 1

Aquí todos los elementos son divisibles por 7.

Para filas que comienzan con números compuestos como la quinta fila,

1 4 6 4 1

El patrón no es válido ya que 4 no divide a 6.

Diagonales en el triángulo de Pascal

Cada diagonal hacia la derecha del Triángulo de Pascal, cuando se considera como una secuencia, representa los diferentes números, como la primera diagonal hacia la derecha representa una secuencia del número 1, la segunda diagonal hacia la derecha representa números triangulares, la tercera diagonal hacia la derecha representa los números tetraédricos, la cuarta diagonal hacia la derecha representa los números de Penélope y así sucesivamente.

Secuencia de Fibonacci en el triángulo de Pascal

Podemos obtener fácilmente la secuencia de Fibonacci simplemente sumando los números en las diagonales del triángulo de Pascal. Este patrón se muestra en la imagen agregada a continuación,

Propiedades del triángulo de Pascal

Varias propiedades del triángulo de Pascal son,

• Cada número en el triángulo de Pascal es la suma del número que está encima de él.
• El número inicial y final en el triángulo de Pascal es siempre 1.
• La primera diagonal del Triángulo de Pascal representa el número natural o números para contar.
• La suma de los elementos en cada fila del triángulo de Pascal se da usando una potencia de 2.
• Los elementos de cada fila son los dígitos de la potencia de 11.
• El triángulo de Pascal es un triángulo simétrico.
• Los elementos de cualquier fila del triángulo de Pascal se pueden utilizar para representar los coeficientes de expansión binomial.
• A lo largo de la diagonal del Triángulo de Pascal observamos los números de Fibonacci.

Artículos relacionados con el Triángulo de Pascal:

• Teorema del binomio
• Variables aleatorias binomiales y distribución binomial

Ejemplos del triángulo de Pascal

Ejemplo 1: encontrar el quinta fila del triángulo de Pascal.

Solución:

El triángulo de Pascal con 5 filas se muestra en la imagen de abajo,

Ejemplo 2: expandir usando el triángulo de Pascal (a + b) ² .

Solución:

Primero escribe las expresiones genéricas sin los coeficientes.

(a+b)²=c₀a²b⁰+c₁a¹b¹+c₂a⁰b²

Ahora construyamos un triángulo de Pascal de 3 filas para encontrar los coeficientes.

Los valores de la última fila nos dan el valor de los coeficientes.

C₀= 1,c₁= 2,c₂=1

(a+b)²= un²b⁰+ 2a¹b¹+ un⁰b²

Así verificado.

Ejemplo 3: expandir usando el triángulo de Pascal (a + b) ⁶ .

Solución:

Primero escribe las expresiones genéricas sin los coeficientes.

(a+b)⁶=c₀a⁶b⁰+c₁a⁵b¹+c₂a⁴b²+c₃a³b³+c₄a²b⁴+c₅a¹b⁵+c₆a⁰b⁶

Ahora construyamos un triángulo de Pascal de 7 filas para encontrar los coeficientes.

Los valores de la última fila nos dan el valor de los coeficientes.

C₀= 1,c₁= 6,c₂= 15, c₃= 20,c₄=15,c₅= 6 yc₆= 1.

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(a+b)⁶= 1a⁶b⁰+ 6a⁵b¹+ 15a⁴b²+ 20a³b³+ 15a²b⁴+ 6a¹b⁵+ 1a⁰b⁶

Ejemplo 4: encuentre el segundo elemento en la tercera fila del triángulo de Pascal.

Solución:

Tenemos que encontrar el segundo elemento en la tercera fila del triángulo de Pascal.

Sabemos que la enésima fila del triángulo de Pascal es^norteC₀,^norteC₁,^norteC₂,^norteC_3…

La fórmula del triángulo de Pascal es,

^norteC_k=^n-1C_k-1+^n-1C_k

dónde^norteC_krepresentar (k+1)^thelemento en m^thfila.

Por lo tanto, el segundo elemento de la tercera fila es,

³C₁=²C₀+²C₁

= 1 + 2

= 3

Por tanto, el segundo elemento de la tercera fila del triángulo de Pascal es 3.

Ejemplo 5: Se lanza una moneda cuatro veces, encuentre la probabilidad de obtener exactamente 2 cruces.

Solución:

Usando la fórmula del triángulo de Pascal,

Número total de resultados = 2⁴= 16 (1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16)

Aquí tenemos cuatro casos en los que obtenemos 2 colas,

De este modo,

Probabilidad de obtener Dos Colas = Resultado Favorable/Resultado Total

= 4/16 = 1/4

Entonces la probabilidad de obtener exactamente dos cruces es 1/4 o 25%.

Resumen - Triángulo de Pascal

El Triángulo de Pascal es una disposición triangular de números donde cada número es la suma de los dos números directamente encima de él. Este triángulo, que lleva el nombre del matemático Blaise Pascal, comienza con un solo 1 en la parte superior y cada fila comienza y termina con 1. Los números en el Triángulo de Pascal corresponden a los coeficientes de la expansión binomial, lo que lo hace útil en álgebra, probabilidad y combinatoria. Los patrones dentro del triángulo incluyen sumas de filas que son potencias de 2, conexiones con la secuencia de Fibonacci y la presencia de números primos. El Triángulo de Pascal también es útil para calcular combinaciones y comprender los resultados en experimentos de probabilidad, como el lanzamiento de una moneda.

Preguntas frecuentes sobre el triángulo de Pascal

¿Qué es el triángulo de Pascal?

La matriz triangular del número propuesta por el famoso matemático Balise Pascal se llama Triángulo de Pascal. Este triángulo comienza con 1 y en la siguiente línea los números inicial y final se fijan en 1, luego el número del medio se genera tomando la suma de los dos números anteriores.

¿Cuáles son los usos del triángulo de Pascal?

Los triángulos de Pascal tienen varios usos,

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• Se utiliza para encontrar el coeficiente binomial de la expansión binomial.
• Proporciona una forma alternativa de expandir los términos binomiales.
• Se utiliza en álgebra, teoría de la probabilidad, permutación y combinación y otras ramas de las matemáticas.

¿Cuál es el uso del triángulo de Pascal en la expansión binomial?

Usamos el triángulo de Pascal para encontrar fácilmente el coeficiente de cualquier término en la Expansión Binomial. Cualquier fila del Triángulo de Pascal (digamos n-ésima) representa el coeficiente de la expansión binomial de (x+y)^norte. Por ejemplo, la segunda fila del Triángulo de Pascal es 1 2 1 y la expansión de (x+y)²

(x+y)²=x²+ 2xy + y²

Aquí, el coeficiente de cada término es 1 2 1, que se asemeja a la segunda fila del Triángulo de Pascal.

¿Cuáles son los diversos patrones que se encuentran en el triángulo de Pascal?

Varios patrones que encontramos fácilmente en el triángulo de Pascal son:

• Patrón triangular
• Patrón par e impar
• patrón de fibonacci
• patrón simétrico

cual es el 5^th¿Fila del triángulo de Pascal?

La quinta fila del triángulo de Pascal se representa a continuación,

1 5 10 10 5 1

Sabemos que la suma de todos los elementos en cualquier fila se da usando 2^nortedonde n representa el número de filas. Por tanto, la suma de todos los términos de la quinta fila es,

2⁵= 32

¿Cuál es el primer elemento de cada fila del triángulo de Pascal?

El primer elemento de cada fila del triángulo de Pascal es 1. Llamamos a este término el término 0 de la fila.