La función objetivo es el objetivo del problema de programación lineal, como sugiere el nombre. En programación lineal u optimización lineal, utilizamos varias técnicas y métodos para encontrar la solución óptima al problema lineal con algunas restricciones. La técnica también puede incluir restricciones de desigualdad. La función objetivo en la programación lineal es optimizar para encontrar la solución óptima para un problema determinado.
En este artículo, aprenderemos todo sobre la función objetivo, incluida su definición, tipos, cómo formular una función objetivo para cualquier problema determinado, etc. También aprenderemos varias representaciones de funciones objetivo, como funciones objetivo lineales o funciones objetivo no lineales. funciones. Entonces, comencemos a aprender sobre este concepto fundamental en programación lineal, es decir, función objetiva.
¿Qué es la función objetivo?
Como sugiere el nombre, la función objetivo básicamente establece el objetivo del Problema. Se centra en la toma de decisiones basada en restricciones. Es una función de valor real que debe maximizarse o minimizarse según las restricciones. Es como una función de ganancia o pérdida. Generalmente se denota por Z.
Las terminologías asociadas con la función objetivo son las siguientes:
- Restricciones: Básicamente son las ecuaciones condicionales que gobiernan la función lineal.
- Variables de decisión: Las variables cuyos valores se quieren encontrar. Las ecuaciones se resuelven para obtener el valor óptimo de estas variables.
- Región factible: Es la región del gráfico donde se satisfacen las restricciones y las variables de decisión se encuentran en las esquinas de la región.
- Solución óptima: La mejor solución posible que satisface todas las restricciones y logra el objetivo más alto o más bajo.
- Solución inviable: Una solución que viola una o más restricciones y no se puede implementar ni ejecutar.
Función objetivo en programación lineal
En programación lineal, una función objetivo es una función lineal que comprende dos variables de decisión. Es una función lineal que debe maximizarse o minimizarse según las restricciones. Si a y b son constantes y x e y son variables de decisión donde x> 0 e y> 0, entonces la función objetivo es
Z = hacha + por
Entonces, para obtener el valor óptimo de la función de optimización, primero debemos resolver las restricciones utilizando cualquiera de las técnicas y encontrar las variables de decisión. Luego colocamos los valores de las variables de decisión en la función Objetivo para generar el valor óptimo.
Formular una función objetivo
La programación lineal consiste en encontrar los valores óptimos de las variables de decisión y poner esos valores en la función objetivo para generar un valor máximo o mínimo. Existen muchas técnicas como el Método Simplex y el Método Gráfico para resolver la Programación Lineal. Sin embargo, normalmente se prefiere el método gráfico debido a su simplicidad. Los pasos para obtener los valores óptimos de la función objetivo son los siguientes:
- Genere las ecuaciones de restricción y la función objetivo a partir del problema.
- Trace las ecuaciones de restricción en la gráfica.
- Ahora identifique la región factible donde se satisfacen las restricciones.
- Genere los valores de las variables de decisión que se encuentran en las esquinas de la región factible.
- Coloque todos los valores generados en la función objetivo y genere el valor óptimo.
Tipos comunes de funciones objetivas
Hay dos tipos de funciones objetivo.
- Función objetivo de maximización
- Función objetivo de minimización
Analicemos estos dos tipos en detalle de la siguiente manera:
Función objetivo de maximización
En este tipo, normalmente pretendemos maximizar la función objetivo. Los vértices que se encuentran después de graficar las restricciones tienden a generar el valor máximo de la función objetivo. Ilustremos con la ayuda de un ejemplo.
Ejemplo: Un hombre invierte como máximo 8 horas de tiempo en confeccionar carteras y mochilas escolares. Invierte 2 horas en hacer carteras y 4 horas en mochilas escolares. Su objetivo es fabricar como máximo 5 carteras y mochilas escolares y quiere venderlas y generar una ganancia de 20 rupias por una cartera y 100 rupias por una mochila escolar. Encuentra la función objetivo.
Solución:
Sea x el número de rotis y y el número de pan.
Un hombre puede invertir un máximo de 8 horas, invirtiendo 2 horas en hacer una billetera y 4 horas en hacer una mochila escolar. Por lo tanto, la primera ecuación de restricción es
2x + 4y ⩽ 8
⇒ x + 2y ⩽ 4
El número máximo que puede formar es 5.
x+y ⩽ 5
Denotemos la función objetivo por Z
Por lo tanto Z = 20x + 100y
Función objetivo de minimización
En este tipo, normalmente pretendemos minimizar la función objetivo. Los vértices que se encuentran después de graficar las restricciones tienden a generar el valor mínimo de la función objetivo. Ilustremos con la ayuda de un ejemplo.
Ejemplo: Dado que la suma de las dos variables es al menos 20. Se da que una variable es mayor que 9. Derive la función objetivo si el costo de una variable es 2 unidades y el costo de otra variable es 9 unidades.
Solución:
Sean x e y las dos variables. Se da que la suma de las dos variables debe ser al menos 20.
x+y ⩾ 20
yx 9
Las dos desigualdades anteriores son restricciones para la siguiente función objetivo.
Denotemos la función objetivo por Z. Por lo tanto, Z es
Z = 2x + 9y
Representación matemática de la función objetivo
Como comentamos sobre la función objetivo en el contexto de la programación lineal, la función objetivo también puede ser no lineal.
- Funciones objetivo lineales: en este tipo de función objetivo, tanto las restricciones como las funciones objetivo son de naturaleza lineal. Los exponentes de las variables son 1.
- Funciones objetivo no lineales: en este tipo de función objetivo, tanto las restricciones como las funciones objetivo son de naturaleza lineal. Los exponentes de las variables son 1 o mayores que 1.
Aplicaciones de funciones objetivas
Las funciones objetivas son importantes en escenarios de la vida real. Por ejemplo, estas funciones las utilizan los empresarios. Los empresarios lo utilizan para maximizar sus ganancias. Las funciones objetivo también son útiles para problemas de transporte. Al configurar una función, se puede analizar cuánto consumo de combustible se está produciendo y cómo el usuario puede reducir en consecuencia los precios del mismo. Las funciones objetivo también son útiles en problemas de distancia.
Problemas resueltos sobre la función objetivo
Problema 1: Una persona quiere cinturones y carteras. Tiene un ahorro total de 6000 rupias y desea gastar todos sus ahorros en la compra de cinturones y carteras para poder venderlos más tarde. El valor de la billetera es 20 rupias y el valor del cinturón es 10 rupias. Quiere guardarlos en un armario y la capacidad máxima del armario es 50 unidades. Espera una ganancia de 2 rupias en el cinturón y 3 rupias en la billetera. Encuentre las restricciones y la función objetivo resultante.
Solución:
Sea x el número de billeteras que se comprarán y y el número de cinturones que se comprarán. Cabe señalar que siempre que se mencione el máximo en el problema, debemos usar '⩽' para encontrar las restricciones.
La inversión máxima es de 6000 rupias. La primera ecuación de restricción es
20x+10y⩽6000
La capacidad máxima de almacenamiento del armario es 50
x+y⩽50
Aquí la función de beneficio es básicamente la función objetivo. Denotemos esto por P. Por lo tanto, la función de beneficio es
P = 3x + 2y
Problema 2: Identificar las ecuaciones de restricción y la función objetivo del conjunto dado
- 2x + 3y 50
- x + y ⩽ 50
- 5x + 4y ⩽ 40
- Z = 7x + 8y
Donde xey son mayores que 0.
Solución:
Las restricciones pueden tener formato de desigualdad o desigualdad. Pero una función objetivo siempre tiene un símbolo de igualdad.
Por lo tanto las ecuaciones de restricción son
2x + 3y 50
x + y ⩽ 50
5x + 4y ⩽ 40
La ecuación objetiva es Z = 7x + 8y
Problema 3: Una mujer invierte como máximo 7 horas de tiempo en hacer rotis y pan. Invierte 2 horas en rotis y 4 horas en pan. Su objetivo es hacer como máximo 20 panes y rotis y quiere venderlos y generar una ganancia de 2 rupias con roti y 1 rupia con pan. Encuentra la función objetivo.
Solución:
Sea x el número de rotis y y el número de pan.
Una mujer puede invertir un máximo de 7 horas invirtiendo 2 horas en hacer un roti y 4 horas en hacer un pan. Por lo tanto, la primera ecuación de restricción es
2x + 4y ⩽ 7
La cantidad máxima de pan y rotis que puede hacer es 20.
x + y ⩽ 20
Denotemos la función objetivo por Z
Por tanto Z = 2x + y.
Problema 4: La empresa quiere fabricar el Producto A y el Producto B. El Producto A requiere 4 unidades de cacao en polvo y 1 unidad de leche en polvo. El Producto B requiere 3 unidades de cacao en polvo y 2 unidades de leche en polvo. Hay disponibles 87 unidades de cacao en polvo y 45 unidades de leche en polvo disponibles. La ganancia que se obtendrá con cada producto es de y respectivamente. Encuentra la función objetivo.
Solución:
Sea x el número de Producto A e y el número de artículos del tipo B.
La cantidad máxima de cacao en polvo es de 87 unidades. Entonces la primera ecuación de restricción es
4x + 3y ⩽ 87
La cantidad máxima de leche en polvo disponible es de 45 unidades. Entonces la segunda ecuación de restricción es
x + 2y ⩽ 45
Aquí nuestro objetivo es maximizar el beneficio. Entonces nuestra función de beneficio es la función objetiva. Se denota por Z.
agrupamientoZ = 3x + 5y
Problema 5: Se deben generar dos tipos de paquetes de alimentos A y B que contengan vitaminas. Hay al menos 45 unidades del paquete de alimentos A para estar disponibles y la fabricación de ambos paquetes de alimentos debe ser de al menos 30. Genere la función objetivo a generar donde el paquete de alimentos A tiene 6 unidades de vitaminas y el paquete de alimentos B tiene 8 unidades. .
Solución:
Sea x el número de paquetes de alimentos A y y sea el número de paquetes de alimentos B
Se pondrán a disposición al menos 45 paquetes de alimentos. Por lo tanto, la primera ecuación de restricción es
x 45
La segunda ecuación de restricción es
x + y ⩾ 30
La función objetivo es la siguiente:
Z = 6x + 8y
Preguntas frecuentes sobre la función objetivo
P1: ¿Cuál es la función objetivo en un problema de programación lineal?
Respuesta:
Una función objetivo es una función de valor real que debe maximizarse o minimizarse según las restricciones. Consta de dos variables de decisión.
P2: ¿Cuál es el objetivo de la función objetivo?
Respuesta:
El objetivo de la función objetivo es maximizar o minimizar el valor resultante. Es una ecuación que se expresa en términos de variables de decisión y juega un papel crucial en la Programación Lineal.
P3: ¿Cómo entendemos si una función debe maximizarse o minimizarse?
Respuesta:
Para comprobar si una función debe maximizarse o no, debemos estar familiarizados con términos como 'como máximo', 'al menos'. Si se utiliza el término 'al menos', entonces la función objetivo debe minimizarse. Para el término 'como máximo', la función debe maximizarse.
P4: Nombre los tipos comunes de funciones objetivas.
Respuesta:
Hay dos tipos de funciones objetivas:
- Función objetivo de maximización
- Función objetivo de minimización
P5: ¿Cuáles son las aplicaciones de la función objetivo?
Respuesta:
Existen diferentes aplicaciones de la función Objetivo. Son útiles en escenarios de la vida real. Se utilizan básicamente para estimar la ganancia o pérdida en cada caso. Las funciones objetivo son útiles en problemas de transporte, problemas de restricción de tiempo, etc.