Máximos y mínimos locales se refieren a los puntos de las funciones, que definen el rango más alto y más bajo de esa función. La derivada de la función se puede utilizar para calcular los máximos y mínimos locales. Los máximos y mínimos locales se pueden encontrar mediante el uso de la prueba de la primera derivada y la prueba de la segunda derivada.

En este artículo, discutiremos la introducción, definición y terminología importante de máximos y mínimos locales y su significado. También entenderemos los diferentes métodos para calcular los máximos y mínimos locales en matemáticas y cálculo . También resolveremos varios ejemplos y proporcionaremos preguntas de práctica para una mejor comprensión del concepto de este artículo.

Tabla de contenidos

• ¿Qué son los máximos locales y los mínimos locales?
• Definición de máximos locales y mínimos locales
• Términos relacionados con máximos locales y mínimos locales
• ¿Cómo encontrar máximos y mínimos locales?
• Ejemplos de máximos y mínimos locales

¿Qué son los máximos locales y los mínimos locales?

Los máximos y mínimos locales se denominan valores máximos y mínimos en un intervalo específico. Un Máximo Local ocurre cuando los valores de un función cerca de un punto específico son siempre menores que los valores de la función en el mismo punto. En el caso de Mínimos Locales, los valores de una función cerca de un punto específico siempre son mayores que los valores de la función en el mismo punto.

En un sentido simple, un punto se llama máximo local cuando la función alcanza su valor más alto en un intervalo específico, y un punto se llama mínimo local cuando la función alcanza su valor más bajo en un intervalo específico.

Por ejemplo, si vas a una zona montañosa y te paras en la cima de una colina, ese punto se llama punto Máximo Local porque estás en el punto más alto de tu entorno. De manera similar, si estás parado en el punto más bajo de un río o mar, ese punto se llama punto mínimo local porque estás en el punto más bajo de tu entorno.

Definición de máximos locales y mínimos locales

Los máximos y mínimos locales son los valores iniciales de cualquier función para tener una idea de sus límites, como los valores de salida más altos y más bajos. Los mínimos locales y los máximos locales también se denominan extremos locales.

Máximos locales

Un punto de máximo local es un punto en cualquier función donde la función alcanza su valor máximo dentro de un intervalo determinado. Un punto (x = a) de una función f (a) se denomina máximo local si el valor de f(a) es mayor o igual a todos los valores de f(x).

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Matemáticamente, f (a) ≥ f (a -h) y f (a) ≥ f (a + h) donde h> 0, entonces a se llama punto máximo local.

Mínimos locales

Un punto mínimo local es un punto en cualquier función donde la función alcanza su valor mínimo dentro de un intervalo determinado. Un punto (x = a) de una función f (a) se llama mínimo local si el valor de f(a) es menor o igual a todos los valores de f(x).

Matemáticamente, f (a) ≤ f (a -h) y f (a) ≤ f (a + h) donde h> 0, entonces a se llama punto mínimo local.

Términos relacionados con máximos locales y mínimos locales

A continuación se analiza la terminología importante relacionada con los máximos y mínimos locales:

Valor máximo

Si alguna función proporciona el valor máximo de salida para el valor de entrada de x. Ese valor de x se llama valor máximo. Si se define dentro de un rango específico. Entonces ese punto se llama Máximos locales .

Máximo absoluto

Si alguna función proporciona el valor de salida máximo para el valor de entrada de x en todo el rango de la función. Ese valor de x se llama Máximo Absoluto.

Valor mínimo

Si alguna función proporciona el valor mínimo de salida para el valor de entrada de x. Ese valor de x se llama valor mínimo. Si se define dentro de un rango específico. Entonces ese punto se llama Mínimos locales .

Mínimo absoluto

Si alguna función proporciona el valor mínimo de salida para el valor de entrada de x en todo el rango de la función. Ese valor de x se llama Mínimo Absoluto.

Punto de inversión

Si el valor de x dentro del rango de la función dada no muestra la salida más alta ni la más baja, se llama Punto de Inversión.

Aprende más, Máximos y mínimos absolutos

¿Cómo encontrar máximos y mínimos locales?

Los máximos y mínimos locales se determinan solo para un rango específico, no son el máximo ni el mínimo para toda la función y no se aplican a todo el rango de la función.

Existen los siguientes métodos para calcular los máximos y mínimos locales. Estos son:

• En el primer paso, tomamos la derivada de la función.

• En el segundo paso, igualamos la derivada a cero y calculamos los puntos críticos para c.

• En el tercer paso utilizamos Primera derivada y Prueba de la segunda derivada para determinar los máximos y mínimos locales.

¿Qué es la prueba de la primera derivada?

En primer lugar, tomamos la primera derivada de una función que da la pendiente de la función. A medida que nos acercamos a un punto máximo, la pendiente de la función aumenta, luego se vuelve cero en el punto máximo y luego disminuye a medida que nos alejamos de él.

De manera similar, en el punto mínimo, a medida que nos acercamos a un punto mínimo, la pendiente de la curva disminuye, luego se vuelve cero en el punto mínimo y luego aumenta a medida que nos alejamos de ese punto.

Tomemos una función f(x), que es continua en el punto crítico c, en un intervalo abierto I, y f'(c) = 0, significa pendiente en el punto crítico c = 0.

Para verificar la naturaleza de f'(x) alrededor del punto crítico c, tenemos las siguientes condiciones para determinar el valor del máximo y mínimo local a partir de la prueba de la primera derivada. Estas condiciones son:

• Si f ′(x) cambia de signo de positivo a negativo a medida que x aumenta a través de c, entonces f(c) muestra el valor más alto de esa función en el rango dado. Por lo tanto, el punto c es un punto de Máximo local, si la primera derivada f '(x)> 0 en cualquier punto lo suficientemente cerca de la izquierda de c y f '(x) <0 en cualquier punto lo suficientemente cerca de la derecha de c.

• Si f ′(x) cambia de signo de negativo a positivo a medida que x aumenta a través de c, entonces f(c) muestra el valor más bajo de esa función en el rango dado. Por lo tanto, el punto c es un punto de mínimos locales, si la primera derivada f '(x) 0 en cualquier punto lo suficientemente cerca a la derecha de c.

• Si f'(x) no cambia el signo significativamente con x aumentando a través de c, entonces el punto c no muestra el valor más alto (máximo local) y más bajo (mínimo local) de la función. En tal caso, el punto c es llamado Punto de Inflexión.

Leer más sobre Primera prueba derivada .

¿Qué es la prueba de la segunda derivada?

La prueba de la segunda derivada se utiliza para determinar el valor del máximo absoluto y del mínimo absoluto de cualquier función dentro de un intervalo específico. Tomemos una función f(x), que es continua en el punto crítico c, en un intervalo abierto I, y f'(c) = 0, significa pendiente en el punto crítico c = 0. Aquí tomamos la segunda derivada f (x) de la función f(x) que da la pendiente de la función.

Para comprobar la naturaleza de f'(x), tenemos las siguientes condiciones para determinar el valor del máximo y mínimo local a partir de la prueba de la segunda derivada. Estas condiciones son:

• El punto c es un punto de Máximo local, si la primera derivada f'(c) = 0 y la segunda derivada f(c) <0. El punto en x= c será el máximo local y f(c) será el valor máximo local de f(x).

• El punto c es un punto de Mínimo Local, si la primera derivada f'(c) = 0, y f(c) la segunda derivada> 0. El punto en x= c será el Mínimo Local y f(c) será el Valor mínimo local de f(x).

• La prueba falla, si la primera derivada f'(c) = 0, y la segunda derivada f(c) = 0, entonces el punto c no muestra el valor más alto (Máximo local) y el más bajo (Mínimo local) de la función , En tal caso, el punto c se llama punto de inflexión y el punto x = c se llama punto Punto de inflexión.

Además, consulte

• Aplicación de Derivados
• Máximos y mínimos relativos
• Fórmula de diferenciación e integración

Ejemplos de máximos y mínimos locales

Ejemplo 1: Analizar los máximos y mínimos locales de la función f(x) = 2x ³ – 3x ² – 12x + 5 usando la prueba de la primera derivada.

Solución:

La función dada es f(x) = 2x³– 3x²– 12x + 5

La primera derivada de la función es f'(x) = 6x²– 6x – 12, se utilizará para conocer los puntos críticos.

Para encontrar el punto crítico, f'(x) = 0;

6x²– 6x – 12 = 0

6(x)²– x – 2) = 0

6(x + 1)(x – 2) = 0

Por tanto, los puntos críticos son x = -1 y x = 2.

Analice el punto inmediato de la primera derivada hasta el punto crítico x = -1. Los puntos son {-2, 0}.

f'(-2) = 6(4 + 2 – 2) = 6(4) = +24 y f'(0) = 6(0 + 0 – 2) = 6(-2) = -12

El signo de la derivada es positivo hacia la izquierda de x = -1 y negativo hacia la derecha. Por lo tanto, indica que x = -1 es el máximo local.

Analicemos ahora el punto inmediato de la primera derivada hasta el punto crítico x = 2. Los puntos son {1,3}.

f'(1) = 6(1 -1 -2) = 6(-2) = -12 y f'(3) = 6(9 + -3 – 2) = 6(4) = +24

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El signo de la derivada es negativo hacia la izquierda de x = 2 y positivo hacia la derecha. Por lo tanto, indica que x = 2 es el mínimo local.

Por lo tanto, el máximo local es -1 y el mínimo local es 2.

Ejemplo 2: Analizar los máximos y mínimos locales de la función f(x) = -x ³ +6x ² -12x +10 usando la prueba de la segunda derivada.

Solución:

La función dada es f(x) = -x³+6x²-12x +10

La primera derivada de la función es f'(x) = -x³+6x²-12x +10, servirá para conocer los puntos críticos.

Para encontrar el punto crítico, f'(x) = 0;

f'(x) = -3x²+ 12x -12 = 0

3(-x²+ 4x – 3) = 0

X²– 4x + 3 = 0

(x – 1)(x – 3) = 0

Por tanto, los puntos críticos son x = 1 y x = 3.

Ahora toma una segunda derivada de la función,

f(x) = 6x – 12

Evaluar f(x) en el punto crítico x=1

f(1) = 6(1) – 12 = 6 – 12 = -6

f(1) <0, y por lo tanto x = 1 corresponde a máximos locales.

Evaluar f(x) en el punto crítico x = 3

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f(3) = 6(3) – 12 = 18 – 12 = 6

f(3)> 0, y por lo tanto x = 3 corresponde a mínimos locales.

Ahora calcularemos los valores de las funciones en los puntos críticos:

f(1) = -(1)³+6(1)²-12(1) +10 = 3, por lo tanto, el máximo local está en (1, 3)

f(3) = -(3)³+6(3)²-12(3) +10 = 1, por lo tanto, el máximo local está en (3, 1)

Preguntas de práctica sobre mínimos y máximos locales

P1. Encuentre máximos locales y mínimos locales de la función f(x) = 2×3 – 3x²-12x +5 usando la prueba de la segunda derivada.

P2. Encuentre y analice los máximos locales y mínimos locales de la función f(x) = – x²+4x -5 usando la prueba de la segunda derivada.

P3. Encuentre máximos locales y mínimos locales de la función f(x) = x²-4x +5 usando la prueba de la primera derivada.

P4. Encuentre y analice los máximos locales y mínimos locales de la función f(x) = 3x²-12x +5 usando la prueba de la primera derivada.

P5. Encuentre y analice los máximos locales y mínimos locales de la función f(x) = x³– 6x²+9x + 15 usando la prueba de la primera derivada.

P6. Encuentre y analice los máximos locales y mínimos locales de la función f(x) = 2x³-9x²+12x +5 usando la prueba de la segunda derivada.

Máximos y mínimos locales: preguntas frecuentes

¿Qué son los máximos locales?

Un punto se denomina máximo local cuando la función alcanza su valor más alto en un intervalo específico.

¿Cómo se puede encontrar el máximo local?

Al diferenciar la función y encontrar el valor crítico en el que la pendiente es cero, podemos encontrar el máximo local.

¿Qué son los mínimos locales?

Un punto se denomina mínimo local cuando la función alcanza su valor más bajo en un intervalo específico.

¿Qué métodos se pueden utilizar para calcular los máximos y mínimos locales?

Prueba de la primera derivada y prueba de la segunda derivada.

¿Cuál es la diferencia entre la prueba de la primera derivada y la prueba de la segunda derivada?

La prueba de la primera derivada es el método aproximado para calcular el valor de los máximos lLcal y los mínimos locales y la prueba de la segunda derivada es el método sistemático y preciso para calcular el valor de los máximos y mínimos locales.

¿Cuál es el significado del punto de inversión?

Si el valor de un punto dentro del rango de una función dada no muestra la salida más alta ni la más baja, ese punto se llama Punto de Inversión.

¿Cuál es el uso de máximos y mínimos locales?

Para averiguar el valor extremo de una función dentro de un rango particular.