En la simplificación de la expresión booleana, las leyes y reglas del álgebra booleana juegan un papel importante. Antes de comprender estas leyes y reglas del álgebra booleana, comprenda el concepto de suma y multiplicación de operaciones booleanas.

Suma booleana

La operación de suma del álgebra booleana es similar a la operación OR. En circuitos digitales, la operación OR se utiliza para calcular el término suma, sin utilizar la operación AND. A + B, A + B', A + B + C' y A' + B + + D' son algunos de los ejemplos de 'término de suma'. El valor del término suma es verdadero cuando uno o más literales son verdaderos y falso cuando todos los literales son falsos.

Multiplicación booleana

La operación de multiplicación del álgebra booleana es similar a la operación AND. En los circuitos digitales, la operación AND calcula el producto, sin utilizar la operación OR. AB, AB, ABC y ABCD son algunos de los ejemplos del término producto. El valor del término producto es verdadero cuando todos los literales son verdaderos y falso cuando alguno de los literales es falso.

Leyes del álgebra booleana

Existen las siguientes leyes del álgebra booleana:

Ley conmutativa

Esta ley establece que no importa en qué orden usemos las variables. Significa que el orden de las variables no importa. En álgebra booleana, las operaciones OR y de suma son similares. En el siguiente diagrama, la puerta OR muestra que el orden de las variables de entrada no importa en absoluto.

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Para dos variables, la ley conmutativa de la suma se escribe como:

Para dos variables, la ley conmutativa de la multiplicación se escribe como:

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Ley asociativa

Esta ley establece que la operación se puede realizar en cualquier orden cuando la prioridad de las variables es la misma. Como '*' y '/' tienen la misma prioridad. En el siguiente diagrama, la ley asociativa se aplica a la puerta OR de 2 entradas.

Para tres variables, la ley asociativa de la suma se escribe como:

Para tres variables, la ley asociativa de la multiplicación se escribe como:

De acuerdo con esta ley, no importa en qué orden se agrupen las variables cuando se aplica AND a más de dos variables. En el siguiente diagrama, la ley asociativa se aplica a la puerta AND de 2 entradas.

Ley distributiva:

De acuerdo con esta ley, si realizamos la operación OR de dos o más variables y luego realizamos la operación AND del resultado con una sola variable, entonces el resultado será similar a realizar la operación AND de esa única variable con cada dos o más variable y luego realizar la operación OR de ese producto. Esta ley explica el proceso de factoring.

Para tres variables, la ley distributiva se escribe como:

Reglas del álgebra booleana

Existen las siguientes reglas del álgebra booleana, que se utilizan principalmente para manipular y simplificar expresiones booleanas. Estas reglas juegan un papel importante en la simplificación de expresiones booleanas.

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Regla 1: A + 0 = A

Supongamos; tenemos una variable de entrada A cuyo valor es 0 o 1. Cuando realizamos la operación OR con 0, el resultado será el mismo que el de la variable de entrada. Entonces, si el valor de la variable es 1, entonces el resultado será 1, y si el valor de la variable es 0, entonces el resultado será 0. Diagramáticamente, esta regla se puede definir como:

Regla 2: (A+1) = 1

Supongamos; tenemos una variable de entrada A cuyo valor es 0 o 1. Cuando realizamos la operación OR con 1, el resultado siempre será 1. Entonces, si el valor de la variable es 1 o 0, entonces el resultado siempre será 1. Diagramáticamente , esta regla se puede definir como:

Regla 3: (A.0) = 0

Supongamos; tenemos una variable de entrada A cuyo valor es 0 o 1. Cuando realizamos la operación AND con 0, el resultado siempre será 0. Esta regla establece que una variable de entrada con AND con 0 es siempre igual a 0. Diagramáticamente, esta regla se puede definir como:

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Regla 4: (A.1) = A

Supongamos; tenemos una variable de entrada A cuyo valor es 0 o 1. Cuando realizamos la operación AND con 1, el resultado siempre será igual a la variable de entrada. Esta regla establece que una variable de entrada con AND con 1 es siempre igual a la variable de entrada. Diagramáticamente, esta regla se puede definir como:

Regla 5: (A + A) = A

Supongamos; tenemos una variable de entrada A cuyo valor es 0 o 1. Cuando realizamos la operación OR con la misma variable, el resultado siempre será igual a la variable de entrada. Esta regla establece que una variable de entrada con OR consigo misma es siempre igual a la variable de entrada. Diagramáticamente, esta regla se puede definir como:

Regla 6: (A + A') = 1

Supongamos; tenemos una variable de entrada A cuyo valor es 0 o 1. Cuando realizamos la operación OR con el complemento de esa variable, el resultado siempre será igual a 1. Esta regla establece que una variable sometida a operación OR con su complemento es igual a 1 siempre. Diagramáticamente, esta regla se puede definir como:

Regla 7: (A.A) = A

Supongamos; tenemos una variable de entrada A cuyo valor es 0 o 1. Cuando realizamos la operación AND con la misma variable, el resultado siempre será igual solo a esa variable. Esta regla establece que una variable con AND consigo misma es siempre igual a la variable de entrada. Diagramáticamente, esta regla se puede definir como:

Regla 8: (A.A') = 0

Supongamos; tenemos una variable de entrada A cuyo valor es 0 o 1. Cuando realizamos la operación AND con el complemento de esa variable, el resultado siempre será igual a 0. Esta regla establece que una variable con AND con su complemento es igual a 0 siempre. Diagramáticamente, esta regla se puede definir como:

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Regla 9: A = (A')'

Esta regla establece que si realizamos el doble complemento de la variable, el resultado será el mismo que el de la variable original. Entonces, cuando realizamos el complemento de la variable A, entonces el resultado será A'. Además, si volvemos a realizar el complemento de A', obtendremos A, que es la variable original.

Regla 10: (A + AB) = A

Podemos probar esta regla usando la regla 2, la regla 4 y la ley distributiva como:

Regla 11: A + AB = A + B

Podemos probar esta regla usando las reglas anteriores como:

Regla 12: (A + B)(A + C) = A + BC

Podemos probar esta regla usando las reglas anteriores como: