Supongamos que hay dos enunciados compuestos, X e Y, que se conocerán como equivalencia lógica si y sólo si la tabla de verdad de ambos contiene los mismos valores de verdad en sus columnas. Con la ayuda del símbolo = o ⇔, podemos representar la equivalencia lógica. Entonces X = Y o X ⇔ Y será la equivalencia lógica de estas afirmaciones.
Con la ayuda de la definición de equivalencia lógica, hemos aclarado que si los enunciados compuestos X e Y son equivalencia lógica, en este caso, X ⇔ Y debe ser tautología.
Leyes de equivalencia lógica
En esta ley, usaremos los símbolos 'Y' y 'O' para explicar la ley de equivalencia lógica. Aquí, Y se indica con la ayuda del símbolo ∧ y O se indica con la ayuda del símbolo ∨. Existen varias leyes de equivalencia lógica, que se describen a continuación:
Ley Idempotente:
En la ley idempotente, solo usamos una única declaración. Según esta ley, si combinamos dos declaraciones iguales con el símbolo ∧(y) y ∨(o), entonces la declaración resultante será la declaración misma. Supongamos que hay un enunciado compuesto P. Se utiliza la siguiente notación para indicar la ley idempotente:
P ∨ P ? P P ∧ P ? P
La tabla de verdad de esta ley se describe a continuación:
| PAG | PAG | pag ∨ pag | pag ∧ pag |
|---|---|---|---|
| t | t | t | t |
| F | F | F | F |
Esta tabla contiene los mismos valores de verdad en las columnas de P, P ∨ P y P ∧ P.
Por tanto podemos decir que P ∨ P = P y P ∧ P = P.
Leyes conmutativas:
Los dos enunciados se utilizan para mostrar la ley conmutativa. Según esta ley, si combinamos dos declaraciones con el símbolo ∧(y) o ∨(o), entonces la declaración resultante será la misma incluso si cambiamos la posición de las declaraciones. Supongamos que hay dos enunciados, P y Q. La proposición de estos enunciados será falsa cuando ambos enunciados P y Q sean falsos. En todos los demás casos, será verdad. Se utiliza la siguiente notación para indicar la ley conmutativa:
P ∨ Q ? Q ∨ P P ∧ Q ? Q ∧ P
La tabla de verdad para estas notaciones se describe a continuación:
| PAG | q | P∨Q | Q∨P |
|---|---|---|---|
| t | t | t | t |
| t | F | t | t |
| F | t | t | t |
| F | F | F | F |
Esta tabla contiene los mismos valores de verdad en las columnas de P ∨ Q y Q ∨ P.
Por tanto podemos decir que P ∨ Q ? Q∨P.
¿Igual que podemos probar P ∧ Q? Q ∧ P.
Ley asociativa:
Las tres afirmaciones se utilizan para mostrar la ley asociativa. De acuerdo con esta ley, si combinamos tres declaraciones con la ayuda de paréntesis mediante el símbolo ∧(y) o ∨(o), entonces la declaración resultante será la misma incluso si cambiamos el orden de los paréntesis. Eso significa que esta ley es independiente de agrupación o asociación. Supongamos que hay tres enunciados P, Q y R. La proposición de estos enunciados será falsa cuando P, Q y R sean falsos. En todos los demás casos, será verdad. Se utiliza la siguiente notación para indicar la ley asociativa:
P ∨ (Q ∨ R) ? (P ∨ Q) ∨ R P ∧ (Q ∧ R) ? (P ∧ Q) ∧ R
La tabla de verdad para estas notaciones se describe a continuación:
| PAG | q | R | P∨Q | Q∨R | (P∨Q)∨R | P ∨ (Q ∨ R) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| t | t | t | t | t | t | t |
| t | t | F | t | t | t | t |
| t | F | t | t | t | t | t |
| t | F | F | t | F | t | t |
| F | t | t | t | t | t | t |
| F | t | F | t | t | t | t |
| F | F | t | F | t | t | t |
| F | F | F | F | F | F | F |
Esta tabla contiene los mismos valores de verdad en las columnas de P ∨ (Q ∨ R) y (P ∨ Q) ∨ R.
Por tanto podemos decir que P ∨ (Q ∨ R) ? (P∨Q)∨R.
¿Igual que podemos probar P ∧ (Q ∧ R)? (P∧Q)∧R
Ley distributiva:
Las tres afirmaciones se utilizan para mostrar la ley distributiva. De acuerdo con esta ley, si combinamos un enunciado con el símbolo ∨(OR) con los otros dos enunciados que están unidos con el símbolo ∧(AND), entonces el enunciado resultante será el mismo incluso si combinamos por separado los enunciados con el símbolo ∨(OR) y combinando las declaraciones unidas con ∧(AND). Supongamos que hay tres enunciados P, Q y R. Se utiliza la siguiente notación para indicar la ley distributiva:
P ∨ (Q ∧ R) ? (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R)
P ∧ (Q ∨ R) ? (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R)
La tabla de verdad para estas notaciones se describe a continuación:
| PAG | q | R | Q∧R | P∨(Q∧R) | P∨Q | PAG ∨ R | (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R) |
| t | t | t | t | t | t | t | t |
| t | t | F | F | t | t | t | t |
| t | F | t | F | t | t | t | t |
| t | F | F | F | t | t | t | t |
| F | t | t | t | t | t | t | t |
| F | t | F | F | F | t | F | F |
| F | F | t | F | F | F | t | F |
| F | F | F | F | F | F | F | F |
Esta tabla contiene los mismos valores de verdad en las columnas de P ∨ (Q ∧ R) y (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R).
alfabeto numerado
Por lo tanto podemos decir que P ∨ (Q ∧ R) = (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R)
¿Igual que podemos probar P ∧ (Q ∨ R)? (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R)
Ley de Identidad:
Se utiliza una sola declaración para mostrar la ley de identidad. Según esta ley, si combinamos una declaración y un valor Verdadero con el símbolo ∨(o), generará el valor Verdadero. Si combinamos una declaración y un valor Falso con el símbolo ∧(y), generará la declaración misma. De manera similar, haremos esto con los símbolos opuestos. Eso significa que si combinamos una declaración y un valor Verdadero con el símbolo ∧(y), entonces generará la declaración misma, y si combinamos una declaración y un valor Falso con el símbolo ∨(o), entonces generará el Valor falso. Supongamos que hay un enunciado compuesto P, un valor verdadero T y un valor falso F. Se utiliza la siguiente notación para indicar la ley de identidad:
P ∨ T ? T and P ∨ F ? P P ∧ T ? P and P ∧ F ? F
La tabla de verdad para estas notaciones se describe a continuación:
| PAG | t | F | P∨T | PAG∨F |
|---|---|---|---|---|
| t | t | F | t | t |
| F | t | F | t | F |
Esta tabla contiene los mismos valores de verdad en las columnas de P ∨ T y T. Por lo tanto, podemos decir que P ∨ T = T. De manera similar, esta tabla también contiene los mismos valores de verdad en las columnas de P ∨ F y P. Por lo tanto podemos decir que P ∨ F = P.
¿Igual que podemos probar P ∧ T ? P y P ∧ F ? F
Ley Complementaria:
En la ley del complemento se utiliza una declaración única. Según esta ley, si combinamos una afirmación con su complemento con el símbolo ∨(o), entonces generará el valor Verdadero, y si combinamos estas afirmaciones con el símbolo ∧(y), entonces generará el Falso valor. Si negamos un valor verdadero, generará un valor falso, y si negamos un valor falso, generará el valor verdadero.
Se utiliza la siguiente notación para indicar la ley del complemento:
P ∨ ¬P ? T and P ∧ ¬P ? F ¬T ? F and ¬F ? T
La tabla de verdad para estas notaciones se describe a continuación:
| PAG | ¬P | t | ¬T | F | ¬F | P ∨ ¬P | P ∧ ¬P |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| t | F | t | F | F | t | t | F |
| F | t | t | F | F | t | t | F |
Esta tabla contiene los mismos valores de verdad en las columnas de P ∨ ¬P y T. Por lo tanto, podemos decir que P ∨ ¬P = T. De manera similar, esta tabla también contiene los mismos valores de verdad en las columnas de P ∧ ¬P y F. Por tanto podemos decir que P ∧ ¬P = F.
Esta tabla contiene los mismos valores de verdad en las columnas de ¬T y F. Por lo tanto, podemos decir que ¬T = F. De manera similar, esta tabla contiene los mismos valores de verdad en las columnas de ¬F y T. Por lo tanto, podemos decir que ¬F = T.
Ley de Doble Negación o Ley de Involución
Se utiliza un solo enunciado para mostrar la ley de la doble negación. Según esta ley, si negamos un enunciado negado, entonces el enunciado resultante será el enunciado mismo. Supongamos que hay un enunciado P y un enunciado negativo ¬P. Se utiliza la siguiente notación para indicar la ley de la doble negación:
¬(¬P) ? P
La tabla de verdad para estas notaciones se describe a continuación:
| PAG | ¬P | ¬(¬P) |
|---|---|---|
| t | F | t |
| F | t | F |
Esta tabla contiene los mismos valores de verdad en las columnas de ¬(¬P) y P. Por lo tanto, podemos decir que ¬(¬P) = P.
De la ley de Morgan:
Las dos afirmaciones se utilizan para mostrar la ley de De Morgan. De acuerdo con esta ley, si combinamos dos enunciados con el símbolo ∧(AND) y luego negamos estos enunciados combinados, entonces el enunciado resultante será el mismo incluso si combinamos la negación de ambos enunciados por separado con el símbolo ∨( O). Supongamos que hay dos enunciados compuestos, P y Q. Se utiliza la siguiente notación para indicar la ley de De Morgan:
¬(P ∧ Q) ? ¬P ∨ ¬Q ¬(P ∨ Q) ? ¬P ∧ ¬Q
La tabla de verdad para estas notaciones se describe a continuación:
| PAG | q | ¬P | ¬Q | pag ∧ q | ¬(P∧Q) | ¬P ∨ ¬Q |
|---|---|---|---|---|---|---|
| t | t | F | F | t | F | F |
| t | F | F | t | F | t | t |
| F | t | t | F | F | t | t |
| F | F | t | t | F | t | t |
Esta tabla contiene los mismos valores de verdad en las columnas de ¬(P ∧ Q) y ¬ P ∨ ¬Q. Por tanto podemos decir que ¬(P ∧ Q) = ¬ P ∨ ¬Q.
¿Lo mismo que podemos probar ¬(P ∨ Q)? ¬P ∧ ¬Q
Ley de absorción:
Las dos afirmaciones se utilizan para mostrar la ley de absorción. De acuerdo con esta ley, si combinamos un enunciado P mediante el símbolo ∨(OR) con el mismo enunciado P y otro enunciado Q, que se unen con el símbolo ∧(AND), entonces el enunciado resultante será el primer enunciado P. Se generará el mismo resultado si intercambiamos los símbolos. Supongamos que hay dos enunciados compuestos, P y Q. Se utiliza la siguiente notación para indicar la ley de absorción:
P ∨ (P ∧ Q) ? P P ∧ (P ∨ Q) ? P
La tabla de verdad para estas notaciones se describe a continuación:
| PAG | q | pag ∧ q | P∨Q | P ∨ (P ∧ Q) | P ∧ (P ∨ Q) |
|---|---|---|---|---|---|
| t | t | t | t | t | t |
| t | F | F | t | t | t |
| F | t | F | t | F | F |
| F | F | F | F | F | F |
Esta tabla contiene los mismos valores de verdad en las columnas de P ∨ (P ∧ Q) y P. Por tanto, podemos decir que P ∨ (P ∧ Q) ? PAG.
De manera similar, esta tabla también contiene los mismos valores de verdad en las columnas de P ∧ (P ∨ Q) y P. Por lo tanto, podemos decir que P ∧ (P ∨ Q) ? PAG.
Ejemplos de equivalencia lógica
Hay varios ejemplos de equivalencia lógica. Algunos de ellos se describen a continuación:
Ejemplo 1: En este ejemplo, estableceremos la propiedad de equivalencia para una declaración, que se describe a continuación:
pag → q ? ¬p ∨q
Solución:
Esto lo demostraremos con la ayuda de una tabla de verdad, que se describe a continuación:
| PAG | q | ¬p | pag → q | ¬p ∨q |
| t | t | F | t | t |
| t | F | F | F | F |
| F | t | t | t | t |
| F | F | t | t | t |
Esta tabla contiene los mismos valores de verdad en las columnas de p → q y ¬p ∨ q. Por tanto podemos decir que p → q ? ¬p ∨ q.
Ejemplo 2: En este ejemplo, estableceremos la propiedad de equivalencia para una declaración, que se describe a continuación:
P ↔ P ? (P → Q) ∧ (Q → P)
Solución:
| PAG | q | P → Q | Q → P | P ↔ Q | (P → Q) ∧ (Q → P) |
| t | t | t | t | t | t |
| t | F | F | t | F | F |
| F | t | t | F | F | F |
| F | F | t | t | t | t |
Esta tabla contiene los mismos valores de verdad en las columnas de P ↔ Q y (P → Q) ∧ (Q → P). Por tanto podemos decir que P ↔ Q ? (P → Q) ∧ (Q → P).
Ejemplo 3: En este ejemplo, usaremos la propiedad equivalente para probar la siguiente afirmación:
pag ↔ q ? ( p ∧ q ) ∨ ( ¬ p ∧ ¬q )
Solución:
Para probar esto, usaremos algunas de las leyes descritas anteriormente y de esta ley tenemos:
pag ↔ q ? (¬p ∨ q) ∧ (¬q ∨ p) ...........(1)
Ahora usaremos la ley conmutativa en la ecuación anterior y obtendremos lo siguiente:
? (p ∨ q) ∧ (p ∨ ¬q)
Ahora usaremos la ley distributiva en esta ecuación y obtendremos lo siguiente:
? (¬ p ∧ (p ∨ ¬q)) ∨ (q ∧ (p ∨ ¬q))
Ahora usaremos la ley distributiva en esta ecuación y obtendremos lo siguiente:
? (p ∧ p) ∨ (p ∧ ¬q) ∨ (q ∧ p) ∨ (q ∧ ¬q)
Ahora usaremos la ley del complemento en esta ecuación y obtendremos lo siguiente:
? F ∨ (¬p ∧ ¬q) ∨ (q ∧ p) ∨ F
Ahora usaremos la ley de identidad y obtendremos lo siguiente:
? (¬ p ∧ ¬ q) ∨ (q ∧ p)
Ahora usaremos la ley conmutativa en esta ecuación y obtendremos lo siguiente:
? (p ∧ q) ∨ (¬ p ¬q)
Finalmente, la ecuación (1) queda como sigue:
pag ↔ q ? (p ∧ q) ∨ (¬ p ¬q)
Finalmente, podemos decir que la ecuación (1) se convierte en p ↔ q ? (p ∧ q) ∨ (¬ p ∧ ¬q)