Identidades trigonométricas inversas: En matemáticas, las funciones trigonométricas inversas también se conocen como funciones arcus o funciones antitrigonométricas. Las funciones trigonométricas inversas son funciones inversas de funciones trigonométricas básicas, es decir, seno, coseno, tangente, cosecante, secante y cotangente. Se utiliza para encontrar los ángulos con cualquier razón trigonométrica. Las funciones trigonométricas inversas se utilizan generalmente en campos como la geometría, la ingeniería, etc. Las representaciones de las funciones trigonométricas inversas son:

Si a = f(b), entonces la función inversa es

segundo = f^-1(a)

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Ejemplos de funciones trigonométricas inversas inversas son sen^-1x, cos^-1x, tan^-1x, etc.

Tabla de contenidos

• Dominio y rango de identidades trigonométricas inversas
• Propiedades de las funciones trigonométricas inversas
• Identidades de la función trigonométrica inversa
• Problemas de muestra sobre identidades trigonométricas inversas
• Problemas de práctica sobre identidades trigonométricas inversas

Dominio y rango de identidades trigonométricas inversas

La siguiente tabla muestra algunas funciones trigonométricas con su dominio y rango.

Propiedades de las funciones trigonométricas inversas

Las siguientes son las propiedades de las funciones trigonométricas inversas:

Propiedad 1:

1. sin^-1(1/x) = cosec^-1x, para x ≥ 1 o x ≤ -1
2. porque^-1(1/x) = segundo^-1x, para x ≥ 1 o x ≤ -1
3. tan^-1(1/x) = cuna^-1x, para x> 0

Propiedad 2:

1. sin^-1(-x) = -sin^-1x, para x ∈ [-1, 1]
2. tan^-1(-x) = -tan^-1x, para x ∈ R
3. cosec^-1(-x) = -cosec^-1x, para |x| ≥ 1

Propiedad 3

1. porque^-1(-x) = π – cos^-1x, para x ∈ [-1, 1]
2. segundo^-1(-x) = π – segundo^-1x, para |x| ≥ 1
3. cuna^-1(-x) = π – cuna^-1x, para x ∈ R

Propiedad 4

1. sin^-1x + cos^-1x = π/2, para x ∈ [-1,1]
2. tan^-1x + cuna^-1x = π/2, para x ∈ R
3. cosec^-1x + segundos^-1x = π/2 , para |x| ≥ 1

Propiedad 5

1. tan^-1x + tan^-1y = tan^-1( x + y )/(1 – xy), para xy <1
2. tan^-1x – tan^-1y = tan^-1(x – y)/(1 + xy), para xy> -1
3. tan^-1x + tan^-1y = π + tan^-1(x + y)/(1 – xy), para xy>1; x,y>0

Propiedad 6

1. 2bronceado^-1x = sin^-1(2x)/(1 + x²), para |x| ≤ 1
2. 2bronceado^-1x = cos^-1(1-x²)/(1 + x²), para x ≥ 0
3. 2bronceado^-1x = tan^-1(2x)/(1-x)²), para 1

Identidades de la función trigonométrica inversa

Las siguientes son las identidades de funciones trigonométricas inversas:

1. sin^-1(sen x) = x siempre -π/2 ≤ x ≤ π/2
2. porque^-1(cos x) = x siempre que 0 ≤ x ≤ π
3. tan^-1(tan x) = x proporcionado -π/2
4. sin(sin^-1x) = x proporcionado -1 ≤ x ≤ 1
5. cos(cos^-1x) = x proporcionado -1 ≤ x ≤ 1
6. tan(tan^-1x) = x proporcionado x ∈ R
7. cosec(cosec^-1x) = x proporcionado -1 ≤ x ≤ ∞ o -∞
8. seg(seg^-1x) = x siempre que 1 ≤ x ≤ ∞ o -∞
9. cuna(cuna^-1x) = x proporcionado -∞
10. sin^{-1}(frac{2x}{1 + x^2}) = 2 tan^{-1}x
11. cos^{-1}(frac{1 – x^2}{1 + x^2}) = 2 tan^{-1}x
12. tan^{-1}(frac{2x}{1 – x^2}) = 2 tan^{-1}x
13. 2cos^-1x = cos^-1(2x²– 1)
14. 2pecado^-1x = sin^-12x√(1 – x²)
15. 3pecado^-1x = sin^-1(3x – 4x³)
16. 3cos^-1x = cos^-1(4x³– 3x)
17. 3bronceado^-1x = tan^-1((3x-x³/1 – 3x²))
18. sin^-1x + sin^-1y = sin^-1{ x√(1 – y²) + y√(1 – x²)}
19. sin^-1x – sin^-1y = sin^-1{ x√(1 – y²) – y√(1 – x²)}
20. porque^-1x + cos^-1y = cos^-1[xy – √{(1 – x²)(1 – y²)}]
21. porque^-1x – cos^-1y = cos^-1[xy + √{(1 – x²)(1 – y²)}
22. tan^-1x + tan^-1y = tan^-1(x + y/1 – xy)
23. tan^-1x – tan^-1y = tan^-1(x – y/1 + xy)
24. tan^-1x + tan^-1y +tan^-1z = tan^-1(x + y + z – xyz)/(1 – xy – yz – zx)

La gente también ve:

• Trigonometría en Matemáticas | Tabla, Fórmulas, Identidades
• Lista de todas las identidades trigonométricas
• Funciones trigonométricas inversas
• Gráficas de funciones trigonométricas inversas

Problemas de muestra sobre identidades trigonométricas inversas

Question 1: Prove sin ^-1 x = segundos ^-1 1/√(1-x ² )

Solución:

Let sin^-1x = y

⇒ sin y = x , (since sin y = perpendicular/hypotenuse ⇒ cos y = √(1- perpendicular²)/hipotenusa )

⇒ cos y = √(1 – x²), aquí hipotenusa = 1

⇒ sec y = 1/cos y

⇒ sec y = 1/√(1 – x²)

⇒ y = sec^-11/√(1 – x²)

⇒ sin^-1x = segundos^-11/√(1 – x²)

Por tanto, demostrado.

Question 2: Prove tan ^-1 x = cosec ^-1 √(1 + x ² )/X

Solución:

Let tan^-1x = y

⇒ tan y = x , perpendicular = x and base = 1

⇒ sin y = x/√(x²+ 1), (ya que hipotenusa = √(perpendicular²+ base²) )

⇒ cosec y = 1/sin y

⇒ cosec y = √(x²+ 1)/x

⇒ y = cosec^-1√(x²+ 1)/x

⇒ tan^-1x = cosec^-1√(x²+ 1)/x

Por tanto, demostrado.

Question 3: Evaluate tan(cos ^-1 X)

Solución:

vamos porque^-1x = y

⇒ cos y = x , base = x e hipotenusa = 1 por lo tanto sen y = √(1 – x²)/1

⇒ tan y = sin y/ cos y

⇒ tan y = √(1 – x²)/X

⇒ y = tan^-1√(1 – x²)/X

⇒ porque^-1x = tan^-1√(1 – x²)/X

Por lo tanto, tan(cos^-1x) = tan(tan^-1√(1 – x²)/x ) = √(1 – x²)/X.

Question 4: tan ^-1 √(sin x) + cot ^-1 √(sin x) = y. Find cos y.

Solución:

Sabemos que el bronceado^-1x + cuna^-1x = /2 por lo tanto, comparando esta identidad con la ecuación dada en la pregunta obtenemos y = π/2

Thus, cos y = cos π/2 = 0.

Question 5: tan ^-1 (1 – x)/(1 + x) = (1/2)tan ^-1 x, x> 0. Resuelva para x.

Solución:

tan^-1(1 – x)/(1 + x) = (1/2)tan^-1X

⇒ 2bronceado^-1(1 – x)/(1 + x) = tan^-1x…(1)

Lo sabemos, 2tan^-1x = tan^-12x/(1-x²).

Por lo tanto, el LHS de la ecuación (1) se puede escribir como

tan^-1[ { 2(1 – x)/(1 + x)}/{ 1 – [(1 – x)(1 + x)]²}]

= tan^-1[ {2(1 – x)(1 + x)} / { (1 + x)²– (1 – x)²}]

= tan^-1[2(1-x)²)/(4x)]

= tan^-1(1-x²)/(2x)

Dado que LHS = RHS, por lo tanto

tan^-1(1-x²)/(2x) = bronceado^-1X

⇒ (1 – x²)/2x = x

⇒ 1-x²= 2x²

⇒ 3x²= 1

⇒ x = ± 1/√3

Dado que x debe ser mayor que 0, x = 1/√3 es la respuesta aceptable.

Question 6: Prove tan ^-1 √x = (1/2)cos ^-1 (1 – x)/(1 + x)

Solución:

Let tan^-1√x = y

⇒ tan y = √x

⇒ tan²y = x

Por lo tanto,

RHS = (1/2)cos^-1( 1- tan²y)/(1 + tan²y)

= (1/2)cos^-1(porque²y – sin²y)/(cos²y + sin²y)

= (1/2)cos^-1(porque²y – sin²y)

= (1/2)cos^-1(porque 2 años)

= (1/2)(2y)

= y

= tan^-1√x

= lado izquierdo

Por tanto, demostrado.

Question 7: tan ^-1 (2x)/(1-x) ² ) + cuna ^-1 (1-x ² )/(2x) = π/2, -1