Una declaración de implicación se puede representar en la forma 'si... entonces'. El símbolo ⇒ se utiliza para mostrar la implicación. Supongamos que hay dos enunciados, P y Q. En este caso, el enunciado 'si P entonces Q' también se puede escribir como P ⇒ Q o P → Q, y se leerá como 'P implica Q'. En esta implicación, el enunciado P es una hipótesis, que también se conoce como premisa y antecedente, y el enunciado Q es una conclusión, que también se conoce como consecuente.
La implicación también juega un papel importante en el argumento lógico. Si se sabe que la implicación de las afirmaciones es verdadera, entonces siempre que se cumpla la premisa, la conclusión también debe ser verdadera. Por esta razón, la implicación también se conoce como enunciado condicional.
A continuación se describen algunos ejemplos de implicaciones:
cadena a carácter
- 'Si el clima en GOA es soleado, iremos a la playa'.
- 'Si el club tiene un sistema de descuento, iremos a ese club'.
- 'Si hace sol mientras vamos a la playa, estaremos bronceados'.
La implicación lógica se puede expresar de varias maneras, que se describen a continuación:
- Si p entonces q
- Si p, q
- q cuando p
- Q sólo si P
- q a menos que ~p
- q siempre que p
- p es una condición suficiente para q
- q seguir p
- p implica q
- Una condición necesaria para p es q
- q si p
- q es necesario para p
- p es una condición necesaria para q
Ahora describiremos los ejemplos de todas las implicaciones descritas anteriormente con la ayuda de la premisa P y la conclusión Q. Para esto, asumiremos que P = Hace sol y Q = Iré a la playa.
PAG ⇒ q
- SI hace sol ENTONCES iré a la playa
- Si hace sol, iré a la playa.
- Iré a la playa CUANDO esté soleado.
- Iré a la playa SOLO SI hace sol.
- Iré a la playa A MENOS que no haga sol.
- Iré a la playa SIEMPRE que haga sol.
- Hace sol ES CONDICIÓN SUFICIENTE PARA Iré a la playa
- Iré a la playa SIGUE que hace sol.
- Hace sol IMPLICA que iré a la playa
- UNA CONDICIÓN NECESARIA PARA QUE haga sol es que iré a la playa
- Iré a la playa SI hace sol.
- Iré a la playa ES NECESARIO PORQUE hace sol
- Hace sol ES CONDICIÓN NECESARIA PARA Iré a la playa
Cuando hay un enunciado condicional 'si p entonces q', entonces este enunciado P ⇒ Q será falso cuando la Premisa p sea verdadera y la Conclusión q sea falsa. En todos los demás casos, eso significa que cuando p es falso o Q es verdadero, la afirmación P ⇒ Q será verdadera. Podemos representar este enunciado con la ayuda de una tabla de verdad en la que lo falso estará representado por F y lo verdadero estará representado por T. La tabla de verdad del enunciado 'si P entonces Q' se describe de la siguiente manera:
| PAG | q | P ⇒ q |
| t | t | t |
| t | F | F |
| F | t | t |
| F | F | t |
No es necesario que las premisas y la conclusión estén relacionadas entre sí. La interpretación de la tabla de verdad depende de la formulación de P y Q.
Por ejemplo:
- Si Jack está hecho de plástico, entonces el océano es verde.
- La declaración: Jack está hecho de plástico.
- La declaración: El océano es verde
Las dos afirmaciones anteriores no tienen ningún sentido porque Jack es un ser humano y nunca podrá estar hecho de plástico, y otra afirmación: El océano es verde nunca sucederá porque el océano siempre es azul y el color del océano no se puede cambiar. Como podemos ver, ambas afirmaciones no están relacionadas entre sí. Por otro lado, la tabla de verdad para el enunciado P ⇒ Q es válida. Así que no es una cuestión de si la tabla de verdad es correcta o no, sino una cuestión de imaginación e interpretación.
Entonces en P ⇒ Q, no necesitamos ningún tipo de conexión entre la premisa y el consecuente. El significado de estos sólo depende del verdadero valor de P y Q.
Estas afirmaciones también serán falsas incluso si consideramos ambas afirmaciones para nuestro mundo, por lo que
False ⇒ False
Entonces, cuando miramos la tabla de verdad anterior, vemos que cuando P es falso y Q es falso, entonces P ⇒ Q es verdadero.
Entonces, si el gato está hecho de plástico, entonces el océano será verde.
Sin embargo, la premisa p y la conclusión q estarán relacionadas y ambas afirmaciones tienen sentido.
Ambigüedad
Puede haber una ambigüedad en el operador implícito. Entonces, cuando usamos el operador implicar (⇒), en este momento debemos usar el paréntesis.
Por ejemplo: En este ejemplo, tenemos un enunciado ambiguo P ⇒ Q ⇒ R. Ahora, tenemos dos enunciados ambiguos ((P ⇒ Q) ⇒ R) o (P ⇒ (Q ⇒ R)), y tenemos que mostrar si estos enunciados son similares o no.
Solución: Esto lo demostraremos con la ayuda de una tabla de verdad, que se describe a continuación:
| PAG | q | R | (P ⇒ Q) | (Q ⇒ R) | P ⇒ (Q ⇒ R) | (P ⇒ Q) ⇒ R |
|---|---|---|---|---|---|---|
| F | F | F | t | t | t | F |
| F | F | t | t | t | t | t |
| F | t | F | t | F | t | F |
| F | t | t | t | t | t | t |
| t | F | F | F | t | t | t |
| t | F | t | F | t | t | t |
| t | t | F | t | F | F | F |
| t | t | t | t | t | t | t |
En la tabla de verdad anterior, podemos ver que las tablas de verdad de P ⇒ (Q ⇒ R) y (P ⇒ Q) ⇒ R no son similares. Por lo tanto, ambos generarán productos o resultados diferentes.
Más sobre implicación
Algunos ejemplos más de implicaciones se describen a continuación:
- Si hace sol, iré a la escuela.
- Si consigo un buen trabajo, ganaré dinero.
- Si obtengo buenas notas, mis padres estarán felices.
En todos los ejemplos anteriores, nos confundimos porque no sabemos cuándo una implicación se considerará verdadera y cuándo se considerará falsa. Para resolver este problema y comprender el concepto de implicación, usaremos un ejemplo hipotético. En este ejemplo, asumiremos que Marry jugará bádminton con su novio Jack, y su novio Jack quiere motivar un poco a Marry, por lo que la atrae con una declaración:
'If you win then I will buy a ring for you'
A través de esta declaración, Jack quiere decir que si gana el matrimonio, obviamente comprará un anillo. A través de esta declaración, Jack sólo se compromete cuando gana Marry. No cometió nada en ningún caso cuando María perdió. Así que al final del partido, sólo puede haber cuatro posibilidades, las cuales se describen a continuación:
- Casarse gana: comprar un anillo.
- Casarse gana, no comprar anillo.
- Casarse pierde: comprar un anillo.
- Casarse pierde, no comprar anillo.
Sin embargo, Jack no hizo ninguna declaración relacionada con la regla (B). Tampoco mencionó las reglas número (C) y (D) en su declaración, por lo que si Marry pierde, entonces depende totalmente de Jack comprarle un anillo o no. En efecto, las afirmaciones (A), (C) y (D) podrían suceder como resultado de la afirmación que Jack dice a Casarse, pero (B) no será el resultado. Sólo si se produce el resultado (B), Jack quedará atrapado en una mentira. En los otros tres casos, es decir, (A), (C) y (D), habrá dicho la verdad.
Ahora usaremos la declaración más simple para que podamos definir simbólicamente la declaración de Jack así:
P: you win Q: I will buy a ring for you
En esta implicación, utilizamos el símbolo lógico ⇒, que puede leerse como 'implica'. Formaremos la declaración compuesta de Jack con la ayuda de poner esta flecha de P a Q así:
P ⇒ Q: If you win, then I will buy a ring for you.
En conclusión, hemos observado que la implicación será falsa sólo cuando P sea verdadera yq sea falsa. Según esta declaración, Marry gana el juego, pero lamentablemente Jack no compra el anillo. En todos los demás casos/resultados, la afirmación será verdadera. En consecuencia, la tabla de verdad de las implicaciones se describe a continuación:
| PAG | q | P ⇒ Q |
|---|---|---|
| t | t | t |
| t | F | F |
| F | t | t |
| F | F | t |
La lista de ecuaciones lógicas correspondientes a la implicación se describe a continuación:
T → T = T T → F = F F → T = T F → F = T
Ejemplos de implicaciones:
Hay varios ejemplos de implicaciones, y algunas de ellas se describen a continuación:
Ejemplo 1: Supongamos que hay cuatro declaraciones, P, Q, R y S donde
P: Jack está en la escuela
P: Jack está enseñando
R: Jack esta durmiendo
S: Jack está enfermo
Ahora describiremos algunas declaraciones simbólicas que están involucradas con estas declaraciones simples.
- P → R
- S → ~P
- ~Q → (S∧R)
- (P∨R) → ~Q
- (~R ∧ ~S) → (Q ∨ ~P)
Aquí tenemos que mostrar la representación de la interpretación de estas declaraciones simbólicas en palabras.
Solución:
| P → R | Si Jack está en la escuela, entonces Jack está enseñando. |
| S → ~P | Si Jack está enfermo, entonces no está en la escuela. |
| ~Q → (S∧R) | Si Jack no está enseñando, entonces está enfermo y durmiendo. |
| (P∨R) → ~Q | Si Jack está en la escuela o durmiendo, entonces no está enseñando. |
| (~R ∧ ~S) → (Q ∨ ~P) | Si Jack no duerme ni está enfermo, entonces está enseñando o no en la escuela. |
Ejemplo 2: En este ejemplo, tenemos una implicación P → Q. Aquí, también tenemos tres enunciados compuestos más que están asociados naturalmente con esta implicación que es contrapositiva, inversa y contraria de la implicación. La relación entre estas cuatro declaraciones se describe con la ayuda de una tabla, que se describe a continuación:
| Implicación | P → Q |
| Conversar | Q → P |
| Inverso | ~P → ~Q |
| Contrapositive | ~Q → ~P |
Ahora consideraremos un ejemplo de implicación, que tiene la afirmación: 'Si estudias bien, obtienes buenas notas'. Esta declaración tiene la forma P → Q, donde
P: estudias bien
P: obtienes buenas notas
Ahora usaremos las declaraciones P y Q y mostraremos las cuatro declaraciones asociadas así:
Implicación: Si estudias bien, obtienes buenas notas.
Conversar: Si sacas buenas notas, estudias bien.
Inverso: Si no estudias bien no sacas buenas notas.
Contrapositive: Si no sacas buenas notas, no estudias bien.
Los valores de verdad de todas las declaraciones asociadas anteriores se describen con la ayuda de una tabla de verdad, que se describe a continuación
| PAG | q | ~P | ~Q | P → Q | Q → P | ~P → ~Q | ~Q → ~P |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| t | t | F | F | t | t | t | t |
| t | F | F | t | F | t | t | F |
| F | t | t | F | t | F | F | t |
| F | F | t | t | t | t | t | t |
En la tabla anterior, podemos ver que la implicación (P → Q) y su contrapositiva (~Q → ~P) tienen el mismo valor en sus columnas. Eso significa que ambos son equivalentes. Entonces podemos decir que:
P → Q = ~Q → ~P
De manera similar, podemos ver que tanto el inverso como el inverso tienen valores similares en sus columnas. Pero esto no hará ninguna diferencia porque lo inverso es el contrapositivo de lo inverso. De manera similar, la implicación original puede surgir del contrapositivo del contrapositivo. (Eso significa que si negamos P y Q y luego cambiamos la dirección de la flecha, y después de eso, repetiremos nuevamente el proceso, eso significa negar ~P y ~Q, y nuevamente cambiar la dirección de la flecha, en este caso, obtendremos donde empezamos).