Para encontrar la pendiente de la recta tangente debemos tener claro el concepto de recta tangente y pendiente. La pendiente se define como la relación entre la diferencia en la coordenada y y la diferencia en la coordenada x. Está representado por la siguiente fórmula:
m =( y 2 – y 1 ) /(x 2 – x 1 )
Cabe señalar que:
- tan θ es lo mismo que m. Las pendientes pueden ser positivas o negativas dependiendo de si la línea se mueve hacia arriba o hacia abajo.
- Los productos de la pendiente de dos rectas perpendiculares son -1 y las pendientes de rectas paralelas son iguales.
- La derivada de una función da un cambio en la tasa con respecto al cambio en la variable independiente.
Pendiente de una recta tangente
La recta tangente es la recta que toca una curva en un punto. Puede haber líneas tangentes que luego crucen la curva o la toquen en otros puntos.
Pero el criterio básico para que una recta sea tangente a la curva f(x) en un punto x=a si la recta pasa por el punto (a, f(a)) (donde el punto es común a la curva y la recta tangente) y la recta tangente tiene pendiente f'(a) donde f'(a) es derivada de la función f(x) en el punto a.
La pendiente de la recta tangente es la misma que la derivada de la curva en algún punto. La fórmula de una recta tangente cuya pendiente es m y el punto dado es (x1, y1) es dado por,
y – y 1 = m × (x – x 1 )
o
y= mx + c
Donde c es una constante.
Leer más sobre Pendiente de una línea .
¿Cómo encontrar la pendiente de una recta tangente?
Solución:
La pendiente de una recta tangente se puede encontrar encontrando la derivada de la curva f(x y encontrando el valor de la derivada en el punto donde se encuentran la recta tangente y la curva. Esto nos da la pendiente
Por ejemplo: Encuentre la pendiente de la recta tangente a la curva f(x) = x² en el punto (1, 2). Además, encuentra la ecuación de la recta tangente.
Encontremos la derivada de f(x):
f'(x) = dy/dx = d(x²) /dx = 2x
El valor de la pendiente en el punto (1, 2) es,
f'(x) = 2(1) = 2
La ecuación de la recta tangente es
y – 2 = 2(x – 1)
o
y = 2x
Leer también,
- Tangentes y normales
- Fórmula de la pendiente de la recta secante
- ¿Cómo encontrar la pendiente a partir de un gráfico?
Problemas similares
Problema 1: Encuentra la pendiente de la recta tangente 6y = 3x + 5.
Solución:
Como sabemos la ecuación de una recta tangente es de la forma y= mx + c donde m es la pendiente
Podemos escribir,
y= (3x + 5 ) / 6
Por lo tanto el valor de la pendiente es 0.5 .
Problema 2: Encuentra la pendiente dados dos puntos (6, 7) y (8, 0).
Solución:
La pendiente de dos puntos cualesquiera, digamos (a, b) y (x, y), está dada por,
m = (y-b) /(x-a)
Por lo tanto m = (0-7) /(8-6) = -3.5
Problema 3: Encuentra la pendiente de la curva y= 6x³.
Solución :
La pendiente de la curva viene dada por la diferenciación de la curva:
dy/dx = d(6x³) /dx = 18x²
Problema 4: Encuentra la pendiente de 2 rectas que son perpendiculares entre sí dada 1 ecuación es y= 3x+8
Solución:
Sean m y n la pendiente de dos rectas perpendiculares
m×n = -1
⇒ metro = 3
⇒ norte = -1/3
Problema 5: Encuentra la pendiente de la recta tangente a la curva f(x) = x⁴ en el punto (2, 1). Además, encuentra la ecuación de la recta tangente.
Solución:
Encontremos la derivada de la curva como,
vicepresidente ejecutivody/dx = 4x³
En el punto (2, 1) el valor de dy/dx o pendiente m es,
metro = 32
La ecuación de la recta tangente en el punto (2, 1) es,
y – 1 = 32(x – 2)