Los triángulos son polígonos cerrados de tres lados formados por la intersección de tres líneas. Se encuentra mucho en la vida cotidiana. Es una de las formas básicas de la geometría. Tiene tres lados, tres ángulos y tres vértices. Un triángulo rectángulo es aquel en el que uno de los ángulos siempre es igual a 90°. Teorema de Pitágoras se deriva para triángulos rectángulos, que establece que el cuadrado de la hipotenusa (el lado más largo) es igual a la suma de los cuadrados de la base y la perpendicular.
Dada la longitud de al menos dos lados de un triángulo rectángulo, podemos encontrar el valor de cualquier ángulo del triángulo rectángulo. Para ello utilizamos varias funciones trigonométricas como seno, coseno, tangente, cotangente, sec y cosec. Estos nos ayudan a relacionar los ángulos de un triángulo rectángulo con sus lados.
Propiedades
- Hay un vértice en ángulo recto entre los tres vértices.
- El lado opuesto al vértice rectángulo se llama hipotenusa .
- La longitud de los lados sigue el teorema de Pitágoras, que establece
hipotenusa 2 = base 2 + altitud 2
- La hipotenusa es el lado más largo de un triángulo rectángulo.
- Los ángulos distintos del ángulo recto son ángulos agudos ya que el valor es menor que 90oh
Funciones trigonométricas
ABC es un triángulo rectángulo con ∠B como ángulo recto
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- cosθ: Esto da la relación entre la base y la hipotenusa de un triángulo rectángulo.
cosθ = base / hipotenusa
- pecadoθ: Esto da la razón de la altitud por la hipotenusa de un triángulo rectángulo.
sinθ = altitud / hipotenusa
- tanθ: Es la relación entre la altitud y la base de un triángulo rectángulo.
tanθ = altitud / base
- cunaθ: Es el inverso de tanθ
- segundoθ: Es el inverso de cosθ
- cosecθ: Es el inverso de sinθ
Para encontrar los ángulos de un triángulo rectángulo, podemos tomar la inversa trigonométrica de la razón de los lados dados del triángulo.
Ejemplo:
Si senθ = x, entonces podemos escribir
θ = pecado -1 X.
Esto devuelve el ángulo para el cual el valor del seno del ángulo es x.
Del mismo modo, existe cos-1θ, tan-1yo, cuna-1θ, seg-1θ, y cosec-1i
Problemas de muestra
Pregunta 1. Dado un triángulo rectángulo, con base igual a 10 cm y hipotenusa igual a 20 cm. Encuentra el valor del ángulo base.
Solución:
Dado, Base = 10 cm
hipotenusa = 20 cm
Sea θ el valor del ángulo base. Podemos escribir
cosθ = base / hipotenusa = 10/20 = 1/2
θ = porque-1(1/2) = 60oh
Por tanto, el valor del ángulo base es 60. oh .
Pregunta 2. Encuentra el valor de los ángulos de un triángulo rectángulo, dado que uno de los ángulos agudos es el doble del otro.
Solución:
Como sabemos que la suma de los tres ángulos de un triángulo es 180oh.
Como uno de los ángulos mide 90ohy uno de los ángulos agudos es el doble del otro, podemos considerarlos como θ y 2θ.
Entonces, podemos escribir
90oh+ θ + 2θ = 180oh
3θ = 180oh– 90oh
3θ = 90oh
θ = 90oh/3 = 30 oh
2θ = 2 × 30oh= 60 oh
entonces los angulos miden 30 oh , 60 oh , y 90 oh .
Pregunta 3. Encuentre el valor del ángulo de elevación de una escalera de 5 m de longitud, dado que la base de la escalera está a una distancia de 3 m de la pared.
Solución:
Como la escalera actúa como la hipotenusa de un triángulo rectángulo y la distancia de la base es igual a 3 m, podemos escribir
Hipotenusa = 5m
Fondo = 3m
Sea el ángulo de elevación θ. Entonces, podemos escribir
cosθ = Base / Hipotenusa = 3/5
θ = porque-1(3/5)
θ = 53oh
Por tanto, el valor del ángulo de elevación es 53.oh.
Pregunta 4. Encuentra el valor de la hipotenusa, dada la longitud de la altitud es de 8 m y el ángulo de la base es igual a 30. oh .
Solución:
Dado, el ángulo base es igual a 30ohy la altitud es igual a 8 m, podemos aplicar la función seno para encontrar la longitud de la hipotenusa.
pecado30 oh = altitud / hipotenusa
hipotenusa = altitud / sen30oh
Desde el valor del pecado30ohes igual a 1/2, podemos escribir
hipotenusa = altitud / (1/2) = 2 × altitud
Por tanto, hipotenusa = 2 × 8 = 16m
Por tanto, la longitud de la hipotenusa es igual a 16 m.