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¿Qué es el montón?

Un montón es un árbol binario completo, y el árbol binario es un árbol en el que el nodo puede tener como máximo dos hijos. Antes de saber más sobre el montón ¿Qué es un árbol binario completo?

Un árbol binario completo es un Árbol binario en el que todos los niveles excepto el último nivel, es decir, el nodo hoja, deben estar completamente llenos y todos los nodos deben estar justificados a la izquierda.

Entendamos a través de un ejemplo.

En la figura anterior, podemos observar que todos los nodos internos están completamente llenos excepto el nodo hoja; por lo tanto, podemos decir que el árbol anterior es un árbol binario completo.

La figura anterior muestra que todos los nodos internos están completamente llenos excepto el nodo hoja, pero los nodos hoja se agregan en la parte derecha; por lo tanto, el árbol anterior no es un árbol binario completo.

Nota: El árbol del montón es una estructura de datos de árbol binario equilibrada especial donde el nodo raíz se compara con sus hijos y se organiza en consecuencia.

¿Cómo podemos organizar los nodos en el árbol?

Hay dos tipos de montón:

• Montón mínimo
• montón máximo

Montón mínimo: El valor del nodo padre debe ser menor o igual que cualquiera de sus hijos.

O

En otras palabras, el montón mínimo se puede definir como, para cada nodo i, el valor del nodo i es mayor o igual que su valor principal, excepto el nodo raíz. Matemáticamente se puede definir como:

A[Padre(i)]<= a[i]< strong>

Entendamos el montón mínimo a través de un ejemplo.

En la figura anterior, 11 es el nodo raíz y el valor del nodo raíz es menor que el valor de todos los demás nodos (hijo izquierdo o derecho).

Montón máximo: El valor del nodo padre es mayor o igual que el de sus hijos.

O

En otras palabras, el montón máximo se puede definir para cada nodo i; el valor del nodo i es menor o igual que su valor principal, excepto el nodo raíz. Matemáticamente se puede definir como:

A[Padre(i)] >= A[i]

El árbol anterior es un árbol de montón máximo ya que satisface la propiedad del montón máximo. Ahora, veamos la representación de matriz del montón máximo.

cola de prioridad

Complejidad del tiempo en Max Heap

El número total de comparaciones requeridas en el montón máximo depende de la altura del árbol. La altura del árbol binario completo siempre es logn; por lo tanto, la complejidad del tiempo también sería O(logn).

Algoritmo de operación de inserción en el montón máximo.

 // algorithm to insert an element in the max heap. insertHeap(A, n, value) { n=n+1; // n is incremented to insert the new element A[n]=value; // assign new value at the nth position i = n; // assign the value of n to i // loop will be executed until i becomes 1. while(i&gt;1) { parent= floor value of i/2; // Calculating the floor value of i/2 // Condition to check whether the value of parent is less than the given node or not if(A[parent] <a[i]) { swap(a[parent], a[i]); i="parent;" } else return; < pre> <p> <strong>Let&apos;s understand the max heap through an example</strong> .</p> <p>In the above figure, 55 is the parent node and it is greater than both of its child, and 11 is the parent of 9 and 8, so 11 is also greater than from both of its child. Therefore, we can say that the above tree is a max heap tree.</p> <p> <strong>Insertion in the Heap tree</strong> </p> <p> <strong>44, 33, 77, 11, 55, 88, 66</strong> </p> <p>Suppose we want to create the max heap tree. To create the max heap tree, we need to consider the following two cases:</p> <ul> <li>First, we have to insert the element in such a way that the property of the complete binary tree must be maintained.</li> <li>Secondly, the value of the parent node should be greater than the either of its child.</li> </ul> <p> <strong>Step 1:</strong> First we add the 44 element in the tree as shown below:</p> <img src="//techcodeview.com/img/ds-tutorial/89/heap-data-structure-5.webp" alt="Heap Data Structure"> <p> <strong>Step 2:</strong> The next element is 33. As we know that insertion in the binary tree always starts from the left side so 44 will be added at the left of 33 as shown below:</p> <img src="//techcodeview.com/img/ds-tutorial/89/heap-data-structure-6.webp" alt="Heap Data Structure"> <p> <strong>Step 3:</strong> The next element is 77 and it will be added to the right of the 44 as shown below:</p> <img src="//techcodeview.com/img/ds-tutorial/89/heap-data-structure-7.webp" alt="Heap Data Structure"> <p>As we can observe in the above tree that it does not satisfy the max heap property, i.e., parent node 44 is less than the child 77. So, we will swap these two values as shown below:</p> <img src="//techcodeview.com/img/ds-tutorial/89/heap-data-structure-8.webp" alt="Heap Data Structure"> <p> <strong>Step 4:</strong> The next element is 11. The node 11 is added to the left of 33 as shown below:</p> <img src="//techcodeview.com/img/ds-tutorial/89/heap-data-structure-9.webp" alt="Heap Data Structure"> <p> <strong>Step 5:</strong> The next element is 55. To make it a complete binary tree, we will add the node 55 to the right of 33 as shown below:</p> <img src="//techcodeview.com/img/ds-tutorial/89/heap-data-structure-10.webp" alt="Heap Data Structure"> <p>As we can observe in the above figure that it does not satisfy the property of the max heap because 33<55, so we will swap these two values as shown below:< p> <img src="//techcodeview.com/img/ds-tutorial/89/heap-data-structure-11.webp" alt="Heap Data Structure"> <p> <strong>Step 6:</strong> The next element is 88. The left subtree is completed so we will add 88 to the left of 44 as shown below:</p> <img src="//techcodeview.com/img/ds-tutorial/89/heap-data-structure-12.webp" alt="Heap Data Structure"> <p>As we can observe in the above figure that it does not satisfy the property of the max heap because 44<88, so we will swap these two values as shown below:< p> <p>Again, it is violating the max heap property because 88&gt;77 so we will swap these two values as shown below:</p> <p> <strong>Step 7:</strong> The next element is 66. To make a complete binary tree, we will add the 66 element to the right side of 77 as shown below:</p> <p>In the above figure, we can observe that the tree satisfies the property of max heap; therefore, it is a heap tree.</p> <p> <strong>Deletion in Heap Tree</strong> </p> <p>In Deletion in the heap tree, the root node is always deleted and it is replaced with the last element.</p> <p> <strong>Let&apos;s understand the deletion through an example.</strong> </p> <p> <strong>Step 1</strong> : In the above tree, the first 30 node is deleted from the tree and it is replaced with the 15 element as shown below:</p> <p>Now we will heapify the tree. We will check whether the 15 is greater than either of its child or not. 15 is less than 20 so we will swap these two values as shown below:</p> <p>Again, we will compare 15 with its child. Since 15 is greater than 10 so no swapping will occur.</p> <p> <strong>Algorithm to heapify the tree</strong> </p> <pre> MaxHeapify(A, n, i) { int largest =i; int l= 2i; int r= 2i+1; while(lA[largest]) { largest=l; } while(rA[largest]) { largest=r; } if(largest!=i) { swap(A[largest], A[i]); heapify(A, n, largest); }} </pre> <hr></88,></p></55,></p></a[i])>