FUNCIÓN TOTIENTE DE EULER

La función Totient de Euler Φ(n) para una entrada n es el recuento de números en {1, 2, 3,…, n-1} que son primos relativos con n, es decir, los números cuyo MCD (máximo común divisor) con n es 1.

Ejemplos:

Φ(1) = 1
mcd(1, 1) es 1

Φ(2) = 1
mcd(1, 2) es 1, pero mcd(2, 2) es 2.

Φ(3) = 2
mcd(1, 3) es 1 y mcd(2, 3) es 1

Φ(4) = 2
mcd(1, 4) es 1 y mcd(3, 4) es 1

Φ(5) = 4
mcd(1, 5) es 1, mcd(2, 5) es 1,
mcd(3, 5) es 1 y mcd(4, 5) es 1

Φ(6) = 2
mcd(1, 6) es 1 y mcd(5, 6) es 1,

Práctica recomendada Función Euler Totient ¡Pruébelo!

¿Cómo calcular Φ(n) para una entrada n?
A Solución simple es iterar a través de todos los números del 1 al n-1 y contar los números con mcd con n como 1. A continuación se muestra la implementación del método simple para calcular la función Totient de Euler para un entero de entrada n.

 // A simple C program to calculate Euler's Totient Function #include  // Function to return gcd of a and b int gcd(int a, int b) {  if (a == 0)  return b;  return gcd(b % a, a); } // A simple method to evaluate Euler Totient Function int phi(unsigned int n) {  unsigned int result = 1;  for (int i = 2; i < n; i++)  if (gcd(i, n) == 1)  result++;  return result; } // Driver program to test above function int main() {  int n;  for (n = 1; n <= 10; n++)  printf('phi(%d) = %d
', n, phi(n));  return 0; }>

Java

 // A simple java program to calculate // Euler's Totient Function import java.io.*; class GFG {  // Function to return GCD of a and b  static int gcd(int a, int b)  {  if (a == 0)  return b;  return gcd(b % a, a);  }  // A simple method to evaluate  // Euler Totient Function  static int phi(int n)  {  int result = 1;  for (int i = 2; i < n; i++)  if (gcd(i, n) == 1)  result++;  return result;  }  // Driver code  public static void main(String[] args)  {  int n;  for (n = 1; n <= 10; n++)  System.out.println('phi(' + n + ') = ' + phi(n));  } } // This code is contributed by sunnusingh>

Python3

 # A simple Python3 program  # to calculate Euler's  # Totient Function # Function to return # gcd of a and b def gcd(a, b): if (a == 0): return b return gcd(b % a, a) # A simple method to evaluate # Euler Totient Function def phi(n): result = 1 for i in range(2, n): if (gcd(i, n) == 1): result+=1 return result # Driver Code for n in range(1, 11): print('phi(',n,') = ', phi(n), sep = '') # This code is contributed # by Smitha>

 // A simple C# program to calculate // Euler's Totient Function using System; class GFG {  // Function to return GCD of a and b  static int gcd(int a, int b)  {  if (a == 0)  return b;  return gcd(b % a, a);  }  // A simple method to evaluate  // Euler Totient Function  static int phi(int n)  {  int result = 1;  for (int i = 2; i < n; i++)  if (gcd(i, n) == 1)  result++;  return result;  }  // Driver code  public static void Main()  {  for (int n = 1; n <= 10; n++)  Console.WriteLine('phi(' + n + ') = ' + phi(n));  } } // This code is contributed by nitin mittal>

JavaScript >PHP

 <Φphp // PHP program to calculate  // Euler's Totient Function // Function to return  // gcd of a and b function gcd($a, $b) {  if ($a == 0)  return $b;  return gcd($b % $a, $a); } // A simple method to evaluate // Euler Totient Function function phi($n) {  $result = 1;  for ($i = 2; $i <$n; $i++)  if (gcd($i, $n) == 1)  $result++;  return $result; } // Driver Code for ($n = 1; $n <= 10; $n++)  echo 'phi(' .$n. ') =' . phi($n).'
'; // This code is contributed by Sam007 Φ>>

C++

 // A simple C++ program to calculate // Euler's Totient Function  #include  using namespace std;  // Function to return gcd of a and b  int gcd(int a, int b)  {   if (a == 0)   return b;   return gcd(b % a, a);  }  // A simple method to evaluate Euler Totient Function  int phi(unsigned int n)  {   unsigned int result = 1;   for (int i = 2; i < n; i++)   if (gcd(i, n) == 1)   result++;   return result;  }  // Driver program to test above function  int main()  {   int n;   for (n = 1; n <= 10; n++)   cout << 'phi('<

Producción

fi(1) = 1 fi(2) = 1 fi(3) = 2 fi(4) = 2 fi(5) = 4 fi(6) = 2 fi(7) = 6 fi(8) = 4 fi( 9) = 6 fi(10) = 4

El código anterior llama a la función gcd O(n) veces. La complejidad temporal de la función mcd es O(h), donde h es el número de dígitos en un número menor de dos números dados. Por lo tanto, un límite superior en el complejidad del tiempo de la solución anterior es O(N^2 log N) [Cómo Φ puede haber como máximo Log₁₀n dígitos en todos los números del 1 al n]

Espacio Auxiliar: O(logN)

A continuación se muestra un Mejor solución . La idea se basa en la fórmula del producto de Euler, que establece que el valor de las funciones tocientes está por debajo del producto de los factores primos generales p de n.

Básicamente, la fórmula dice que el valor de Φ(n) es igual a n multiplicado por el subproducto de (1 – 1/p) para todos los factores primos p de n. Por ejemplo, valor de Φ(6) = 6 * (1-1/2) * (1 – 1/3) = 2.
Podemos encontrar todos los factores primos usando la idea utilizada en este correo.

1) Inicializar: resultado = n
2) Ejecute un bucle desde 'p' = 2 hasta sqrt(n), haga lo siguiente para cada 'p'.
a) Si p divide a n, entonces
Establecer: resultado = resultado * (1,0 - (1,0 / (flotante) p));
Divida todas las apariciones de p en n.
3) Devolver resultado

A continuación se muestra la implementación de la fórmula del producto de Euler.

C++

 // C++ program to calculate Euler's  // Totient Function using Euler's // product formula #include  using namespace std; int phi(int n) {    // Initialize result as n  float result = n;     // Consider all prime factors of n   // and for every prime factor p,  // multiply result with (1 - 1/p)  for(int p = 2; p * p <= n; ++p)  {    // Check if p is a prime factor.  if (n % p == 0)  {    // If yes, then update n and result  while (n % p == 0)  n /= p;    result *= (1.0 - (1.0 / (float)p));  }  }    // If n has a prime factor greater than sqrt(n)  // (There can be at-most one such prime factor)  if (n>1) resultado -= resultado / n;  //Dado que en el conjunto {1,2,....,n-1}, todos los números son primos relativos con n //si n es un número primo return (int)resultado; } // Código del controlador int main() { int n;    para(norte = 1; norte<= 10; n++)  {  cout << 'Phi' << '('   << n << ')' << ' = '  << phi(n) <

 // C program to calculate Euler's Totient Function // using Euler's product formula #include  int phi(int n) {  float result = n; // Initialize result as n  // Consider all prime factors of n and for every prime  // factor p, multiply result with (1 - 1/p)  for (int p = 2; p * p <= n; ++p) {    // Check if p is a prime factor.  if (n % p == 0) {    // If yes, then update n and result  while (n % p == 0)  n /= p;  result *= (1.0 - (1.0 / (float)p));  }  }  // If n has a prime factor greater than sqrt(n)  // (There can be at-most one such prime factor)  if (n>1) resultado -= resultado / n;  //Dado que en el conjunto {1,2,....,n-1}, todos los números son primos relativos con n //si n es un número primo return (int)resultado; } // Programa controlador para probar la función anterior int main() { int n;  para (norte = 1; norte<= 10; n++)  printf('phi(%d) = %d
', n, phi(n));  return 0; }>

Java

 // Java program to calculate Euler's Totient // Function using Euler's product formula import java.io.*; class GFG {  static int phi(int n)  {  // Initialize result as n  float result = n;  // Consider all prime factors of n and for  // every prime factor p, multiply result  // with (1 - 1/p)  for (int p = 2; p * p <= n; ++p) {  // Check if p is a prime factor.  if (n % p == 0) {  // If yes, then update n and result  while (n % p == 0)  n /= p;  result *= (1.0 - (1.0 / (float)p));  }  }  // If n has a prime factor greater than sqrt(n)  // (There can be at-most one such prime factor)  if (n>1) resultado -= resultado / n;  //Dado que en el conjunto {1,2,....,n-1}, todos los números son primos relativos con n //si n es un número primo return (int)resultado;  } // Programa controlador para probar la función anterior public static void main(String args[]) { int n;  para (norte = 1; norte<= 10; n++)  System.out.println('phi(' + n + ') = ' + phi(n));  } } // This code is contributed by Nikita Tiwari.>

Python3

 # Python 3 program to calculate # Euler's Totient Function # using Euler's product formula def phi(n) : result = n # Initialize result as n # Consider all prime factors # of n and for every prime # factor p, multiply result with (1 - 1 / p) p = 2 while p * p<= n : # Check if p is a prime factor. if n % p == 0 : # If yes, then update n and result while n % p == 0 : n = n // p result = result * (1.0 - (1.0 / float(p))) p = p + 1 # If n has a prime factor # greater than sqrt(n) # (There can be at-most one # such prime factor) if n>1: resultado -= resultado // n #Dado que en el conjunto {1,2,....,n-1}, todos los números son primos relativos con n #si n es un número primo return int(resultado) # Controlador programa para probar la función anterior para n en el rango (1, 11): print('phi(', n, ') = ', phi(n)) # Este código es una contribución # de Nikita Tiwari.>

 // C# program to calculate Euler's Totient // Function using Euler's product formula using System; class GFG {    static int phi(int n)  {    // Initialize result as n  float result = n;  // Consider all prime factors  // of n and for every prime   // factor p, multiply result  // with (1 - 1 / p)  for (int p = 2; p * p <= n; ++p)   {    // Check if p is a prime factor.  if (n % p == 0)   {    // If yes, then update  // n and result  while (n % p == 0)  n /= p;  result *= (float)(1.0 - (1.0 / (float)p));  }  }  // If n has a prime factor   // greater than sqrt(n)  // (There can be at-most   // one such prime factor)  if (n>1) resultado -= resultado / n;  //Dado que en el conjunto {1,2,....,n-1}, todos los números son primos relativos con n //si n es un número primo return (int)resultado;  } // Código del controlador public static void Main() { int n;  para (norte = 1; norte<= 10; n++)  Console.WriteLine('phi(' + n + ') = ' + phi(n));  } } // This code is contributed by nitin mittal.>

JavaScript

 // Javascript program to calculate  // Euler's Totient Function  // using Euler's product formula function phi(n) {  // Initialize result as n  let result = n;   // Consider all prime factors  // of n and for every prime  // factor p, multiply result   // with (1 - 1/p)  for (let p = 2; p * p <= n; ++p)   {    // Check if p is  // a prime factor.  if (n % p == 0)   {    // If yes, then update  // n and result  while (n % p == 0)  n /= p;  result *= (1.0 - (1.0 / p));  }  }  // If n has a prime factor greater   // than sqrt(n) (There can be at-most  // one such prime factor)  if (n>1) resultado -= resultado / n;  //Dado que en el conjunto {1,2,....,n-1}, todos los números son primos relativos con n //si n es un número primo return parseInt(resultado); } // Código de controlador para (sea n = 1; n<= 10; n++)  document.write(`phi(${n}) = ${phi(n)} `);   // This code is contributed by _saurabh_jaiswal>

PHP

 <Φphp // PHP program to calculate  // Euler's Totient Function  // using Euler's product formula function phi($n) {  // Initialize result as n  $result = $n;   // Consider all prime factors  // of n and for every prime  // factor p, multiply result   // with (1 - 1/p)  for ($p = 2; $p * $p <= $n; ++$p)   {    // Check if p is  // a prime factor.  if ($n % $p == 0)   {    // If yes, then update  // n and result  while ($n % $p == 0)  $n /= $p;  $result *= (1.0 - (1.0 / $p));  }  }  // If n has a prime factor greater   // than sqrt(n) (There can be at-most  // one such prime factor)  if ($n>1) $resultado -= $resultado / $n;  //Dado que en el conjunto {1,2,....,n-1}, todos los números son primos relativos con n //si n es un número primo return intval($resultado); } // Código de controlador para ($n = 1; $n<= 10; $n++) echo 'phi(' .$n. ') =' . phi($n).'
';   // This code is contributed by Sam007 Φ>>

Producción

Phi(1) = 1 Phi(2) = 1 Phi(3) = 2 Phi(4) = 2 Phi(5) = 4 Phi(6) = 2 Phi(7) = 6 Phi(8) = 4 Phi( 9) = 6 Fi(10) = 4

Complejidad del tiempo: O(Φ norte iniciar sesión norte)
Espacio Auxiliar: O(1)

Podemos evitar cálculos de punto flotante con el método anterior. La idea es contar todos los factores primos y sus múltiplos y restar este recuento de n para obtener el valor de la función totiente (los factores primos y los múltiplos de factores primos no tendrán mcd como 1)

1) Inicializar el resultado como n
2) Considere cada número 'p' (donde 'p' varía de 2 a Φ(n)).
Si p divide a n, entonces haz lo siguiente
a) Reste todos los múltiplos de p de 1 a n [todos los múltiplos de p
tendrá mcd mayor que 1 (al menos p) con n]
b) Actualice n dividiéndolo repetidamente por p.
3) Si la n reducida es mayor que 1, elimine todos los múltiplos
de n del resultado.

A continuación se muestra la implementación del algoritmo anterior.

C++

 // C++ program to calculate Euler's // Totient Function #include  using namespace std; int phi(int n) {  // Initialize result as n  int result = n;     // Consider all prime factors of n   // and subtract their multiples   // from result  for(int p = 2; p * p <= n; ++p)  {    // Check if p is a prime factor.  if (n % p == 0)   {    // If yes, then update n and result  while (n % p == 0)  n /= p;    result -= result / p;  }  }    // If n has a prime factor greater than sqrt(n)  // (There can be at-most one such prime factor)  if (n>1) resultado -= resultado / n;    resultado de devolución; } // Código del controlador int main() { int n;  para(norte = 1; norte<= 10; n++)  {  cout << 'Phi' << '('   << n << ')' << ' = '  << phi(n) << endl;  }  return 0; } // This code is contributed by koulick_sadhu>

 // C program to calculate Euler's Totient Function #include  int phi(int n) {  int result = n; // Initialize result as n  // Consider all prime factors of n and subtract their  // multiples from result  for (int p = 2; p * p <= n; ++p) {    // Check if p is a prime factor.  if (n % p == 0) {    // If yes, then update n and result  while (n % p == 0)  n /= p;  result -= result / p;  }  }  // If n has a prime factor greater than sqrt(n)  // (There can be at-most one such prime factor)  if (n>1) resultado -= resultado / n;  resultado de devolución; } // Programa controlador para probar la función anterior int main() { int n;  para (norte = 1; norte<= 10; n++)  printf('phi(%d) = %d
', n, phi(n));  return 0; }>

Java

 // Java program to calculate  // Euler's Totient Function import java.io.*; class GFG  { static int phi(int n) {  // Initialize result as n  int result = n;   // Consider all prime factors   // of n and subtract their  // multiples from result  for (int p = 2; p * p <= n; ++p)  {    // Check if p is   // a prime factor.  if (n % p == 0)   {    // If yes, then update  // n and result  while (n % p == 0)  n /= p;  result -= result / p;  }  }  // If n has a prime factor  // greater than sqrt(n)  // (There can be at-most   // one such prime factor)  if (n>1) resultado -= resultado / n;  resultado de devolución; } // Código del controlador public static void main (String[] args) { int n;  para (norte = 1; norte<= 10; n++)  System.out.println('phi(' + n +   ') = ' + phi(n)); } } // This code is contributed by ajit>

Python3

 # Python3 program to calculate  # Euler's Totient Function def phi(n): # Initialize result as n result = n; # Consider all prime factors # of n and subtract their # multiples from result p = 2; while(p * p <= n): # Check if p is a  # prime factor. if (n % p == 0): # If yes, then  # update n and result while (n % p == 0): n = int(n / p); result -= int(result / p); p += 1; # If n has a prime factor # greater than sqrt(n) # (There can be at-most  # one such prime factor) if (n>1): resultado -= int(resultado/n); resultado de devolución; # Código de controlador para n en rango(1, 11): print('phi(',n,') =', phi(n)); # Este código es aportado # por mits>

 // C# program to calculate  // Euler's Totient Function using System; class GFG {   static int phi(int n) { // Initialize result as n int result = n;  // Consider all prime  // factors of n and  // subtract their  // multiples from result for (int p = 2;  p * p <= n; ++p) {    // Check if p is   // a prime factor.  if (n % p == 0)   {    // If yes, then update  // n and result  while (n % p == 0)  n /= p;  result -= result / p;  } } // If n has a prime factor // greater than sqrt(n) // (There can be at-most  // one such prime factor) if (n>1) resultado -= resultado / n; resultado de devolución; } // Código del controlador static public void Main () { int n;  para (norte = 1; norte<= 10; n++)  Console.WriteLine('phi(' + n +   ') = ' +  phi(n)); } } // This code is contributed  // by akt_mit>

JavaScript

 // Javascript program to calculate  // Euler's Totient Function function phi(n) {  // Initialize   // result as n  let result = n;   // Consider all prime   // factors of n and subtract   // their multiples from result  for (let p = 2;   p * p <= n; ++p)  {    // Check if p is   // a prime factor.  if (n % p == 0)   {    // If yes, then   // update n and result  while (n % p == 0)  n = parseInt(n / p);  result -= parseInt(result / p);  }  }  // If n has a prime factor  // greater than sqrt(n)  // (There can be at-most   // one such prime factor)  if (n>1) resultado -= parseInt(resultado/n);  resultado de devolución; } // Código de controlador para (sea n = 1; n<= 10; n++)  document.write(`phi(${n}) = ${phi(n)} `);   // This code is contributed  // by _saurabh_jaiswal>

PHP

 <Φphp // PHP program to calculate  // Euler's Totient Function function phi($n) {  // Initialize   // result as n  $result = $n;   // Consider all prime   // factors of n and subtract   // their multiples from result  for ($p = 2;   $p * $p <= $n; ++$p)  {    // Check if p is   // a prime factor.  if ($n % $p == 0)   {    // If yes, then   // update n and result  while ($n % $p == 0)  $n = (int)$n / $p;  $result -= (int)$result / $p;  }  }  // If n has a prime factor  // greater than sqrt(n)  // (There can be at-most   // one such prime factor)  if ($n>1) $resultado -= (int)$resultado / $n;  devolver $resultado; } // Código de controlador para ($n = 1; $n<= 10; $n++)  echo 'phi(', $n,') =',   phi($n), '
';   // This code is contributed  // by ajit Φ>>

Producción

Phi(1) = 1 Phi(2) = 1 Phi(3) = 2 Phi(4) = 2 Phi(5) = 4 Phi(6) = 2 Phi(7) = 6 Phi(8) = 4 Phi( 9) = 6 Fi(10) = 4

Complejidad del tiempo: O(Φ norte iniciar sesión norte)
Espacio Auxiliar: O(1)

Tomemos un ejemplo para comprender el algoritmo anterior.

norte = 10.
Inicializar: resultado = 10

2 es un factor primo, entonces n = n/i = 5, resultado = 5
3 no es un factor primo.

El bucle for se detiene después de 3 ya que 4*4 no es menor o igual
a 10.

Después del bucle for, resultado = 5, n = 5
Como n> 1, resultado = resultado - resultado/n = 4

Algunas propiedades interesantes de la función Totiente de Euler

1) Para número primo p ,phi(p) = p – 1

Prueba :

phi(p) = p - 1, donde p es cualquier número primo. Sabemos quegcd(p, k) = 1donde k es cualquier número aleatorio yk eq pNúmero total de 1 a p = p Número para el cualgcd(p, k) = 1es1, es decir, el número p en sí, por lo que restar 1 de pphi(p) = p - 1

Ejemplos:

phi(5) = 5 - 1 = 4phi(13) = 13 - 1 = 12phi(29) = 29 - 1 = 28

2) Para dos números primos a y b phi(a cdot b) = phi(a) cdot phi(b) = (a – 1) cdot (b – 1) , utilizada en Algoritmo RSA

Prueba :

phi(acdot b) = phi(a) cdot phi(b), donde a y b son números primosphi(a) = a - 1,phi(b) = b - 1Número total de 1 a ab = ab Múltiplos totales de a de 1 a ab =frac{a cdot b} {a}=bMúltiplos totales de b de 1 a ab =frac{a cdot b} {b}=a Ejemplo: a = 5, b = 7, ab = 35Múltiplos de a =frac {35} {5}= 7 {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35}Múltiplos de b =frac {35} {7}= 5 {7, 14, 21, 28, 35} ¿Puede haber doble contabilización? (observe atentamente el ejemplo anterior, pruebe con otros números primos también para una mayor comprensión)Por supuesto, hemos contadoab dos veces en múltiplos de a y múltiplos de b entonces, Total múltiplos = a + b - 1 (con lo cualgcd eq 1conab)phi(ab) = ab - (a + b - 1), eliminando todos los números congcd eq 1conab phi(ab) = a(b - 1) - (b - 1)phi(ab) = (a - 1) cdot (b - 1)phi(ab) = phi(a) cdot phi(b)

Ejemplos:

phi(5 cdot 7) = phi(5) cdot phi(7) = (5 - 1) cdot (7 - 1) = 24phi(3 cdot 5) = phi(3) cdot phi(5) = (3 - 1) cdot (5 - 1) = 8phi(3 cdot 7) = phi(3) cdot phi(7) = (3 - 1) cdot (7 - 1) = 12

3) Para un número primo p ,phi(p ^ k) = p ^ k – p ^ {k – 1}

cadena de concatenación en java

Prueba :

phi(p^k) = p ^ k - p ^{k - 1}, donde p es un número primoNúmeros totales del 1 alp ^ k = p ^ kMúltiplos totales dep = frac {p ^ k} {p} = p ^ {k - 1}Eliminando estos múltiplos como con ellosgcd eq 1 Ejemplo : p = 2, k = 5,p ^ k= 32Múltiplos de 2 (como con ellosgcd eq 1) = 32 / 2 = 16 {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32}phi(p ^ k) = p ^ k - p ^ {k - 1}

Ejemplos:

phi(2 ^ 5) = 2 ^ 5 - 2 ^ {5 - 1} = 32 - 16 = 16phi(5 ^ 3) = 5 ^ 3 - 5 ^ {3 - 1} = 125 - 25 = 100phi(3 ^ 5) = 3 ^ 5 - 3 ^ {5 - 1} = 243 - 81 = 162

4) Para dos numeros a y b phi(a cdot b) = phi(a) cdot phi(b) cdot frac {gcd(a, b)} {phi(gcd(a, b))}

Caso especial: mcd(a, b) = 1

phi(a cdot b) = phi(a) cdot phi(b) cdot frac {1} {phi(1)} = phi(a) cdot phi(b)

Ejemplos:

Caso especial : gcd(a, b) = 1 , phi(a cdot b) = phi(a) cdot phi(b) phi(2 cdot 9) = phi(2) cdot phi(9) = 1 cdot 6 = 6phi(8 cdot 9) = phi(8) cdot phi(9) = 4 cdot 6 = 24phi(5 cdot 6) = phi(5) cdot phi(6) = 4 cdot 2 = 8 Caso normal: gcd(a, b) eq 1 , phi(a cdot b) = phi(a) cdot phi(b) cdot frac {gcd(a, b)} {phi(gcd(a, b))}phi(4 cdot 6) = phi(4) cdot phi(6) cdot frac {gcd(4, 6)} {phi(gcd(4, 6))} = 2 cdot 2 cdot frac{2}{1} = 2 cdot 2 cdot 2 = 8phi(4 cdot 8) = phi(4) cdot phi(8) cdot frac {gcd(4, 8)} {phi(gcd(4, 8))} = 2 cdot 4 cdot frac{4}{2} = 2 cdot 4 cdot 2 = 16phi(6 cdot 8) = phi(6) cdot phi(8) cdot frac {gcd(6, 8)} {phi(gcd(6, 8))} = 2 cdot 4 cdot frac{2}{1} = 2 cdot 4 cdot 2 = 16

5) La suma de los valores de las funciones tocientes de todos los divisores de n es igual a n.

gauss

Ejemplos:

norte = 6
factores = {1, 2, 3, 6}
norte =phi(1) + phi(2) + phi(3) + phi(6)= 1 + 1 + 2 + 2 = 6n = 8factores = {1, 2, 4, 8}n =phi(1) + phi(2) + phi(4) + phi(8)= 1 + 1 + 2 + 4 = 8n = 10factores = {1, 2, 5, 10}n =phi(1) + phi(2) + phi(5) + phi(10)= 1 + 1 + 4 + 4 = 10

6) La característica más famosa e importante se expresa en teorema de euler :

El teorema establece que si n y a son coprimos
(o primos relativos) enteros positivos, entonces

a^Φ(norte)Φ 1 (mod n)

El criptosistema RSA se basa en este teorema:
En el caso particular en el que m es primo, digamos p, el teorema de Euler se convierte en el llamado El pequeño teorema de Fermat :

a^p-1Φ 1 (contra p)

7) El número de generadores de un grupo cíclico finito bajo la adición de módulo n es Φ(n) .

Artículo relacionado:
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Función Euler Totient optimizada para múltiples evaluaciones

Referencias:
http://e-maxx.ru/algo/euler_function
http://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_totient_function

https://cp-algorithms.com/algebra/phi-function.html

http://mathcenter.oxford.memory.edu/site/math125/chineseRemainderTheorem/

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Algunas propiedades interesantes de la función Totiente de Euler