¿Cuáles son los factores de 45? 1, 3, 5, 9, 15 y 45.
¿Se pregunta cómo se me ocurrieron esos números? ¡Factorización! Debido a que proporciona una base matemática para sistemas más complicados, aprender a factorizar es clave. Entonces, ya sea que estés estudiando para un examen de álgebra, repasando el SAT o ACT, o simplemente quieras refrescarte y recordar cómo factorizar números para órdenes superiores de matemáticas, esta es la guía para ti.
¿Qué es el factoraje?
El factoraje es el proceso de encontrar cada número entero que pueda multiplicarse por otro número entero para igualar un número objetivo . Ambos múltiplos serán factores del número objetivo.
Factorizar números puede parecer una tarea tediosa o una memorización de memoria sin un objetivo final, pero la factorización es una técnica que ayuda a construir la columna vertebral de procesos matemáticos mucho más complejos.
Sin saber factorizar, sería francamente difícil (si no imposible) entender los polinomios y el cálculo, e incluso haría que tareas simples como repartir un cheque fueran mucho más difíciles de descifrar mentalmente.
¿Cuáles son los factores de 45? Factorización en acción
Este concepto puede ser difícil de visualizar, así que echemos un vistazo a todos los factores de 45 para ver este proceso en acción. Los factores de 45 son los pares de números que suman 45 cuando se multiplican entre sí. :
1 y 45 (porque 1 * 45 = 45)
3 y 15 (porque 3 * 15 = 45)
5 y 9 (porque 5 * 9 = 45)
Entonces, en forma de lista, los 45 factores son 1, 3, 5, 9, 15 y 45 .
Afortunadamente para nosotros, la factorización solo requiere las dos funciones principales en esta imagen (¡sí!)
Factorización prima y factores primos de 45
Un número primo es cualquier número entero mayor que 1 que puede solo dividirse (equitativamente) entre 1 y sí mismo. Una lista de los números primos más pequeños son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19... y así sucesivamente.
Principal factorización significa encontrar los factores primos de un número objetivo que, cuando se multiplican, dan como resultado ese número objetivo. Entonces, si usamos 45 como nuestro número objetivo, queremos encontrar solo los factores primos de 45 que deben multiplicarse para dar igual a 45.
Sabemos por los factores de la lista anterior de 45 que solo algunos de esos factores (3 y 5) son números primos. Pero también sabemos que 3 * 5 sí no igual a 45. Entonces 3 * 5 es una factorización prima incompleta.
La forma más fácil de encontrar un completo La factorización prima de cualquier número objetivo dado consiste en utilizar lo que es esencialmente una división 'al revés' y dividir sólo por el número primo más pequeño que pueda caber en cada resultado.
Por ejemplo:
Divide el número objetivo (45) por el primo más pequeño que pueda factorizarse. En este caso son 3.
Terminamos con 15. Ahora dividimos 15 por el primo más pequeño que pueda factorizarse. En este caso, son nuevamente 3.
Terminamos con un resultado de 5. Ahora divida 5 por el número primo más pequeño que pueda factorizarse. En este caso son 5.
Esto nos deja con 1, así que hemos terminado.
La factorización prima será todos los números del 'exterior' multiplicados. Cuando se multiplican, el resultado será 45. (Nota: no incluimos el 1, porque 1 no es un número primo).
Nuestra factorización prima final de 45 es 3 * 3 * 5.
Un tipo diferente de Prime.
Calcular los factores de cualquier número
Al determinar los factores, la forma más rápida es encontrar el factor pares como hicimos antes para todos los factores de 45. Al encontrar los pares, cortas tu trabajo a la mitad, ya que estás encontrando los factores más pequeños y más grandes al mismo tiempo.
Ahora, la manera más rápida de calcular todos los pares de factores que necesitarás para factorizar el número objetivo es encontrar la raíz sobrante del número objetivo (o raíz cuadrada y redondear hacia abajo al número entero más cercano) y usar ese número como tu parada punto para encontrar factores pequeños.
¿Por qué? Porque ya habrás encontrado todos los factores mayores que el cuadrado al encontrar los pares de factores más pequeños. Y sólo repetirás esos factores si continúas intentando encontrar factores mayores que la raíz cuadrada.
¡No te preocupes si esto te suena confuso ahora mismo! Trabajaremos con un ejemplo para mostrarle cómo puede evitar perder el tiempo buscando los mismos factores nuevamente.
Así que veamos el método en acción para encontrar todos los factores de 64:
Primero, saquemos la raíz cuadrada de 64.
√64 = 8
Ahora sabemos solo centrarse en los números enteros del 1 al 8 para encontrar la primera mitad de todos nuestros pares de factores.
#1: Nuestro primer par de factores será 1 y 64
#2: 64 es un número par, por lo que nuestro próximo par de factores será 2 y 32.
#3: 64 no se puede dividir uniformemente entre 3, por lo que 3 NO es un factor.
#4: 64/4 = 16, por lo que nuestro próximo par de factores será 4 y 16.
#5: 64 no es divisible por 5, por lo que 5 NO es un factor de 64.
#6: 6 no encaja uniformemente en 64, por lo que 6 NO es un factor de 64.
#7: 7 no es igual en 64, por lo que 7 NO es un factor de 64.
#8: 8 * 8 (8 al cuadrado) es igual a 64, por lo que 8 es factor de 64.
Y podemos detenernos aquí, porque 8 es la raíz cuadrada de 64. Si siguiéramos intentando encontrar factores, solo repetiríamos los números más grandes de nuestros pares de factores anteriores (16, 32, 64).
Nuestra lista final de factores de 64 es 1, 2, 4, 8, 16, 32 y 64.
Los factores (como los patitos) siempre son mejores en parejas.
Atajos para encontrar factores
Ahora veamos cómo podemos rápidamente encontrar los factores más pequeños (y por lo tanto los pares de factores) de un número objetivo. A continuación, describí algunos trucos útiles para saber si los números del 1 al 11 son factores de un número determinado.
1) Siempre que quieras factorizar un número, siempre puedes comenzar inmediatamente con dos factores: 1 y el número objetivo (por ejemplo, 1 y 45, si estás factorizando 45). Cualquier número (distinto de 0) siempre se puede multiplicar por 1 para igualarse a sí mismo, por lo que 1 voluntad siempre ser un factor.
2) Si el número objetivo es par, los siguientes factores serán 2 y la mitad del número objetivo. Si el número es impar, automáticamente sabrás que no se puede dividir uniformemente entre 2, por lo que 2 NO será un factor. (De hecho, si el número objetivo es impar, no tendrá factores de NINGÚN número par).
3) Una forma rápida de averiguar si un número es divisible por 3 es sumar los dígitos del número objetivo. Si 3 es un factor de la suma de los dígitos, entonces 3 también es un factor del número objetivo.
Por ejemplo, digamos que nuestro número objetivo es 117 y debemos factorizarlo. Podemos determinar si 3 es un factor sumando los dígitos del número objetivo (117):
1 + 1 + 7 = 9
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3 se puede multiplicar por 3 para igualar 9, por lo que 3 podrá entrar uniformemente en 117.
117/3 = 39
3 y 39 son factores de 117.
4) Un número objetivo solo tendrá un factor de 4 si ese número objetivo es par . Si es así, puedes determinar si 4 es un factor observando el resultado de un par de factores anterior. Si, al dividir un número objetivo por 2, el resultado sigue siendo par, el número objetivo también será divisible por 4. De lo contrario, el número objetivo NO tendrá un factor de 4.
Por ejemplo:
18/2 = 9. 18 NO es divisible por 4 porque 9 es un número impar.
56/2 = 28. 56 ES divisible por 4 porque 28 es un número par.
5) 5 será un factor de todos y cada uno de los números que terminan en los dígitos 5 o 0 . Si el objetivo termina en cualquier otro número, no tendrá factor 5.
6) 6 siempre será un factor de un número objetivo si el número objetivo tiene factores de AMBOS 2 y 3 . Si no, 6 no será un factor.
7) Desafortunadamente, no hay atajos para saber si 7 es un factor de un número distinto de recordar los múltiplos de 7.
8) si el objetivo El número NO tiene factores de 2 y 4, tampoco tendrá un factor de 8. . Si tiene factores de 2 y 4, podría tiene un factor de 8, pero tendrás que dividir para ver (desafortunadamente, no hay ningún truco ingenioso más allá de recordar los múltiplos de 8).
9) Puedes determinar si 9 es un factor sumando los dígitos del número objetivo . Si suman un múltiplo de 9, entonces el número objetivo tiene 9 como factor.
Por ejemplo:
42 → 4 + 2 = 6. 6 NO es divisible por 9, por lo que 9 NO es factor de 42.
72 → 7 + 2 = 9. 9 ES divisible por 9 (¡obviamente!), por lo que 9 es factor de 72.
10) si un objetivo el numero termina en 0 , entonces siempre tendrá un factor de 10. Si no, 10 no será un factor.
11) Si un número objetivo es un número de dos dígitos con ambos dígitos repetidos (22, 33, 66, 77…), entonces tendrá como factor 11. Si es un número de tres dígitos o más, simplemente tendrás que probar tú mismo si es divisible por 11.
12+) En este punto, probablemente ya hayas encontrado los números más grandes, como 12, 13 y 14, al encontrar los factores más pequeños y formar pares de factores. De lo contrario, tendrás que probarlos manualmente dividiéndolos en tu número objetivo.
Aprender sus técnicas de factorización rápida permitirá que todas esas molestas piezas encajen en su lugar.
Consejos para recordar 45 factores
Si tu objetivo es recordar todos los factores de 45, siempre puedes utilizar las técnicas anteriores para encontrar pares de factores.
La raíz cuadrada de 45 está entre 6 y 7 (6^2 = 36 y 7^2 = 49). Redondea a la baja a 6, que será el número pequeño más grande que necesitarás probar.
Sabes que el primer par será automáticamente 1 y 45. También sabes que 2, 4 y 6 no serán factores, porque 45 es un número impar.
4 + 5 = 9, por lo que 3 será un factor (al igual que 15, porque 45/3 = 15).
Y finalmente, 45 termina en 5, por lo que 5 será un factor (al igual que 9, porque 45/5 = 9).
Esto viene a demostrar que tu siempre puedes averiguar Los factores de 45 extremadamente rápido, incluso si no has memorizado los números exactos de la lista.
O, si prefieres memorizar los 45 factores específicamente, puedes recordar eso, para factorizar 45, todo lo que necesitas son los tres números impares más pequeños (1, 3, 5) . Ahora simplemente emparéjalos con sus múltiplos correspondientes para obtener 45 (45, 15, 9).
Conclusión: Por qué es importante el factoraje
La factorización proporciona la base de formas superiores de pensamiento matemático, por lo que aprender a factorizar le será de gran utilidad en sus esfuerzos matemáticos actuales y futuros.
Ya sea que esté aprendiendo por primera vez o simplemente tomándose el tiempo para actualizar su conocimiento sobre los factores, seguir los pasos para comprender estos procesos (¡y conocer los trucos para obtener sus factores de manera más eficiente!) lo ayudará a llegar a donde desea. estar en tu vida matemática.
¡Feliz factoraje!