Una cantidad que se caracteriza no sólo por su magnitud sino también por su dirección se llama vector. La velocidad, la fuerza, la aceleración, el momento, etc. son vectores.
Los vectores se pueden multiplicar de dos formas:
- Producto escalar o producto escalar
- Producto vectorial o producto cruzado
Tabla de contenidos
- Producto escalar/producto escalar de vectores
- Propiedades del producto escalar
- Desigualdades basadas en el producto escalar
- Producto cruzado/Producto vectorial de vectores
- Producto de punto y cruz
- Preguntas frecuentes sobre productos punto y cruz en vectores
Producto escalar/producto escalar de vectores
El producto escalar resultante/producto escalar de dos vectores es siempre una cantidad escalar. Considere dos vectores a y b . El producto escalar se calcula como el producto de las magnitudes de a, by el coseno del ángulo entre estos vectores.
Producto escalar = |a||b| porque α
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Aquí,
- |a| = magnitud del vector a,
- |b| = magnitud del vector b , y
- α = ángulo entre los vectores.
Vectores a y b con un ángulo α entre ellos
Proyección de un vector sobre otro vector
Vector a se puede proyectar en la línea l como se muestra a continuación:
CD = proyección del vector a sobre el vector b
De la figura anterior se desprende claramente que podemos proyectar un vector sobre otro vector. AC es la magnitud del vector A. En la figura anterior, AD se dibuja perpendicular a la línea l. CD representa la proyección del vector. a en vector b .
El triángulo ACD es, por tanto, un triángulo rectángulo y podemos aplicar fórmulas trigonométricas.
Si α es la medida del ángulo ACD, entonces
cos α = CD/AC
O, CD = AC cos a
De la figura, queda claro que CD es la proyección del vector a sobre el vector b
Entonces, podemos concluir que un vector se puede proyectar sobre otro vector por el coseno del ángulo entre ellos.
Propiedades del producto escalar
- El producto escalar de dos vectores es siempre un número real (escalar).
- El producto escalar es conmutativo, es decir, a.b =b.a= |a||b| porque α
- Si α es 90°, entonces el producto escalar es cero ya que cos(90) = 0. Entonces, el producto escalar de los vectores unitarios en las direcciones x, y es 0.
- Si α es 0° entonces el producto escalar es el producto de magnitudes de a y b |a||b|.
- El producto escalar de un vector unitario consigo mismo es 1.
- El producto escalar de un vector a consigo mismo es |a|2
- Si α es 1800, el producto escalar de los vectores a y b es -|a||b|
- El producto escalar es distributivo sobre la suma.
a. ( b + C ) = ab + C.A
- Para cualquier escalar k y m entonces,
yo a. (metro b ) = kilómetros ab
- Si la forma componente de los vectores está dada como:
a = un1x+a2y + a3Con
b = segundo1x+b2y + b3Con
entonces el producto escalar viene dado como
ab = un1b1+ un2b2+ un3b3
- El producto escalar es cero en los siguientes casos:
- La magnitud del vector a es cero.
- La magnitud del vector b es cero.
- Los vectores a y b son perpendiculares entre sí
Desigualdades basadas en el producto escalar
Existen varias desigualdades basadas en el producto escalar de vectores, como por ejemplo:
- Desigualdad de Cauchy-Schwartz
- Desigualdad triangular
Analicemos estos en detalle de la siguiente manera:
Desigualdad de Cauchy-Schwartz
Según este principio, para dos vectores cualesquiera a y b , la magnitud del producto escalar es siempre menor o igual al producto de las magnitudes del vector a y del vector b
|a.b| ≤ |a| |b|
Prueba:
Dado que a.b = |a| |b| porque α
sabemos que 0
Entonces, concluimos que |a.b| ≤ |a| |b|
Desigualdad triangular
Para dos vectores cualesquiera a y b , nosotros siempre tenemos
| a + b | ≤ | a | + | b |
Desigualdad triangular
Prueba:
| a + b |2=| a + b || a + b |
= Automóvil club británico + ab + licenciado en Letras + cama y desayuno
= | a |2+ 2 ab +| b |2(el producto escalar es conmutativo)
≤ | a |2+ 2| a||b | + | b |2
≤ ( |un | + | b| )2
Esto prueba que | a + b | ≤ | a | + | b|
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Ejemplos de producto escalar de vectores
Ejemplo 1. Considere dos vectores tales que |a|=6 y |b|=3 y α = 60°. Encuentra su producto escalar.
Solución:
ab = |a| |b| porque α
Entonces, ab = 6.3.cos(60°)
=18(1/2)
ab = 9
Ejemplo 2. Demuestre que los vectores a = 3i+j-4k y el vector b = 8i-8j+4k son perpendiculares.
Solución :
Sabemos que los vectores son perpendiculares si su producto escalar es cero.
ab = (3i+j-4k)(8i-8j+4k)
= (3)(8) +(1)(-8)+(-4)(4)
=24-8-16 =0
Como el producto escalar es cero, podemos concluir que los vectores son perpendiculares entre sí.
Producto cruzado/Producto vectorial de vectores
Los lectores ya están familiarizados con un sistema de coordenadas rectangular diestro tridimensional. En este sistema, una rotación en sentido antihorario del eje x hacia el eje y positivo indica que un tornillo derecho (estándar) avanzaría en la dirección del eje z positivo, como se muestra en la figura.
Sistema de coordenadas rectangulares 3D
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El producto vectorial o producto cruzado, de dos vectores a y b con un ángulo α entre ellos se calcula matemáticamente como
a × b = |a| |b| sin α
Cabe señalar que el producto vectorial es un vector con una dirección específica. La resultante es siempre perpendicular tanto a a como a b.
Además, si se le dan dos vectores,
mathbf{a} imes mathbf{b} = (a_2b_3 – a_3b_2, a_3b_1 – a_1b_3, a_1b_2 – a_2b_1)
En caso de que a y b sean vectores paralelos, la resultante será cero ya que sin(0) = 0
Propiedades del producto cruzado
- El producto cruzado genera una cantidad vectorial. La resultante es siempre perpendicular tanto a a como a b.
- El producto cruzado de vectores paralelos/vectores colineales es cero cuando sin(0) = 0.
yo × yo = j × j = k × k = 0
- El producto cruzado de dos vectores mutuamente perpendiculares con magnitud unitaria cada uno es la unidad. (Ya que pecado(0)=1)
- El producto cruzado no es conmutativo.
a × b no es igual a b × a
- El producto cruzado es distributivo sobre la suma.
una × ( b + C ) = a ×b + a × C
- Si k es un escalar entonces,
k(a × b) = k(a) × b = a × k(b)
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- Al movernos en el sentido de las agujas del reloj y tomar el producto cruzado de dos pares cualesquiera de vectores unitarios obtenemos el tercero y en el sentido contrario a las agujas del reloj, obtenemos la resultante negativa.
Producto cruzado en sentido horario y antihorario
Se pueden establecer los siguientes resultados:
yo × j = k | j × k = yo | k × yo = j |
j × yo = -k | yo × k = -j | k × j = -yo |
Producto cruzado en forma determinante
si el vector a se representa como a = a1x + a2y + a3z y vector b se representa como b = b1x + b2y + b3z
Entonces el producto cruzado a×b se puede calcular usando la forma determinante
egin{array}{ccc} x & y & z a 1 & a 2 & a 3 b 1 & b 2 & b 3 end{array}
Entonces, a×b = x(un2b3- b2a3) + y(a3b1- a1b3) + z(a1b2- a2b1)
Si a y b son los lados adyacentes del paralelogramo OXYZ y α es el ángulo entre los vectores a y b.
Entonces el área del paralelogramo viene dada por | a×b | = |a| |b|pecado.a
Los vectores a y b como lados adyacentes de un paralelogramo
Ejemplos De c ross producto de vectores
Ejemplo 1. Encuentre el producto cruzado de dos vectores a y b si sus magnitudes son 5 y 10 respectivamente. Dado que el ángulo entre entonces es de 30°.
Solución:
a×b = a.b.sin (30) = (5) (10) (1/2) = 25 perpendicular to a y b
Ejemplo 2. Encuentra el área de un paralelogramo cuyos lados adyacentes son
a = 4i+2j-3k
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b= 2 i +j-4k
Solución :
El área se calcula encontrando el producto cruzado de lados adyacentes.
a × b = x(a2b3- b2a3) + y(a3b1- a1b3) + z(a1b2- a2b1)
= yo(-8+3) + j(-6+16) + k(4-4)
= -5i +10j
Por lo tanto, la magnitud del área es
sqrt{(5^2 +10^2)} =
sqrt{(25+100)} =
sqrt{(125)} =5sqrt{5}
Producto de punto y cruz
Algunas de las diferencias comunes entre el producto punto y cruz de vectores son:
| Propiedad | Producto escalar | Producto cruzado |
|---|---|---|
| Definición | a⋅b = |a| |b| porque i , dónde i es el ángulo entre los vectores. | a×b = |a| |b| sin i n̂, donde i es el ángulo entre los vectores, y n̂ es un vector unitario perpendicular al plano que contiene a y b. |
| Resultado | Escalar | Vector |
| Conmutatividad | Se mantiene [a⋅b = b⋅a] | No se cumple [a×b = −(b×a)] |
| Dirección | Valor escalar, sin dirección | Perpendicular al plano que contiene a y b |
| Ortogonalidad | Dos vectores son ortogonales si su producto escalar es cero. | El producto cruzado de dos vectores distintos de cero es ortogonal a ambos. |
| Aplicaciones | Encontrar el ángulo entre vectores, proyección de un vector sobre otro | Encontrar par en física, determinar vectores normales a superficies. |
Leer más,
- Álgebra vectorial
- Escalar y Vectorial
- Producto escalar de dos vectores
- Producto de vectores
Preguntas frecuentes sobre productos punto y cruz en vectores
¿Qué representa geométricamente el producto escalar?
El producto escalar de dos vectores representa la proyección de un vector sobre el otro, escalada por sus magnitudes y el coseno del ángulo entre ellos.
¿Cómo se utiliza el producto escalar en geometría?
Se utiliza para encontrar ángulos entre vectores, determinar vectores ortogonales, calcular proyecciones y medir similitudes entre vectores.
¿Qué pasa si el producto escalar de dos vectores es cero?
Si el producto escalar es cero, significa que los vectores son ortogonales (perpendiculares) entre sí.
¿Qué representa geométricamente el producto cruz?
El producto vectorial de dos vectores representa un vector perpendicular al plano que contiene los vectores originales. Su magnitud es igual al área del paralelogramo formado por los vectores.
¿Cómo encuentras la dirección del producto cruzado?
Utilice la regla de la mano derecha: apunte su pulgar derecho en la dirección del primer vector, su dedo índice en la dirección del segundo vector y su dedo medio apuntará en la dirección del producto vectorial.