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Licenciatura y Licenciatura en Matemáticas Discretas

Para comprender el grado de entrada y salida de un vértice, primero debemos aprender sobre el concepto de grado de un vértice. Después de eso, podemos comprender fácilmente el grado de entrada y salida de un vértice. Debemos saber que el grado de entrada y salida solo se puede determinar en el gráfico dirigido. Podemos calcular el grado de un vértice con la ayuda de un gráfico no dirigido. En el gráfico no dirigido, no podemos calcular el grado de entrada y salida de un vértice.

Grado de un vértice

Si queremos encontrar el grado de cada vértice en un gráfico, en este caso, tenemos que contar el número de relaciones que establece un vértice particular con el otro vértice. En otras palabras, podemos determinar el grado de un vértice con la ayuda de calcular el número de aristas que se conectan a ese vértice. El grado de un vértice se indica con la ayuda de grados(v). Si hay un gráfico simple, que contiene n número de vértices, en este caso, el grado de cualquier vértice será:

 Deg(v) = n-1 ∀ v ∈ G 

Un vértice tiene la capacidad de formar una arista con todos los demás vértices de un gráfico excepto por sí mismo. Entonces, en un gráfico simple, el grado de un vértice se obtendrá mediante el número de vértices en un gráfico menos 1. Aquí, 1 se usa para el vértice propio porque no forma un bucle por sí solo. Si el gráfico contiene los vértices que tienen el bucle automático, entonces ese tipo de gráfico no será un gráfico simple.

Ejemplo:

En este ejemplo, tenemos una gráfica que tiene 6 vértices, es decir, a, b, c, d, e y f. El vértice 'a' tiene grado 5 y todos los demás vértices tienen grado 1. Si algún vértice tiene grado 1, entonces ese tipo de vértice se conocerá como 'vértice final'.

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Existen dos casos de gráficas en las que podemos considerar el grado de un vértice, los cuales se describen a continuación:

  • Gráfico no dirigido
  • Gráfico dirigido

Ahora aprenderemos en detalle el grado de un vértice en un gráfico dirigido y el grado de un vértice en un gráfico no dirigido.

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Grado de un vértice en un gráfico no dirigido

Si hay un gráfico no dirigido, entonces en este tipo de gráfico no habrá aristas dirigidas. Los ejemplos para determinar el grado de un vértice en un gráfico no dirigido se describen a continuación:

Ejemplo 1: En este ejemplo, consideraremos un gráfico no dirigido. Ahora averiguaremos el grado de cada vértice en ese gráfico.

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Solución: En el gráfico no dirigido anterior, hay un total de 5 números de vértices, es decir, a, b, c, d y e. El grado de cada vértice se describe a continuación:

  • El gráfico anterior contiene 2 aristas, que se encuentran en el vértice 'a'. Por lo tanto Grado(a) = 2
  • Este gráfico contiene 3 aristas, que se encuentran en el vértice 'b'. Por lo tanto Grado(b) = 3
  • El gráfico anterior contiene 1 arista, que se encuentra en el vértice 'c'. Por tanto Deg(c) = 1. El vértice c también se conoce como vértice pendiente.
  • El gráfico anterior contiene 2 aristas, que se encuentran en el vértice 'd'. Por tanto Grado(d) = 2.
  • El gráfico anterior contiene 0 aristas, que se encuentran en el vértice 'e'. Por tanto Deg(a) = 0. El vértice e también puede denominarse vértice aislado.

Ejemplo 2: En este ejemplo, consideraremos un gráfico no dirigido. Ahora averiguaremos el grado de cada vértice en ese gráfico.

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Solución: En el gráfico no dirigido anterior, hay un total de 5 números de vértices, es decir, a, b, c, d y e. El grado de cada vértice se describe a continuación:

Grado del vértice a = grados(a) = 2

Grado del vértice b = grado(b) = 2

Grado del vértice c = grados(c) = 2

Grado de vértice d = grados(d) = 2

Grado del vértice e = grado(e) = 0

En este gráfico, no hay ningún vértice pendiente y el vértice 'e' es un vértice aislado.

Grado de vértice en gráfico dirigido

Si el gráfico es un gráfico dirigido, entonces en este gráfico, cada vértice debe tener un grado de entrada y un grado de salida. Supongamos que hay un gráfico dirigido. En este gráfico, podemos utilizar los siguientes pasos para averiguar el grado de entrada, el grado de salida y el grado de un vértice.

Grado de entrada de un vértice

El grado de entrada de un vértice se puede describir como un número de aristas con v, donde v se usa para indicar el vértice terminal. En otras palabras, podemos describirlo como una serie de aristas que llegan al vértice. Con la ayuda de la sintaxis deg.-(v), podemos escribir el grado de entrada de un vértice. Si queremos determinar el grado de entrada de un vértice, para ello tenemos que contar el número de aristas que terminan en el vértice.

Grado exterior de un vértice

El grado exterior de un vértice se puede describir como un número de aristas con v, donde v se usa para indicar el vértice inicial. En otras palabras, podemos describirlo como una serie de aristas que salen del vértice. Con la ayuda de la sintaxis deg.+(v), podemos escribir el grado exterior de un vértice. Si queremos determinar el grado exterior de un vértice, para ello tenemos que contar el número de aristas que comienzan desde el vértice.

Grado de un vértice

El grado de un vértice se indica con la ayuda de grados (v), que es igual a la suma del grado de entrada y salida de un vértice. La representación simbólica del grado de un vértice se describe a continuación:

 Deg(v) = deg-(v) + deg+(v) 

Ejemplo 1: En este ejemplo, tenemos una gráfica y tenemos que determinar el grado de cada vértice.

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Solución: Para esto, primero averiguaremos el grado de un vértice, el grado de entrada de un vértice y luego el grado de salida de un vértice.

Como podemos ver, el gráfico anterior contiene un total de 6 vértices, es decir, v1, v2, v3, v4, v5 y v6.

En grado:

Grado de entrada de un vértice v1 = grados(v1) = 1

Grado de entrada de un vértice v2 = grados(v2) = 1

Grado de entrada de un vértice v3 = grados(v3) = 1

Grado de entrada de un vértice v4 = grados(v4) = 5

Grado de entrada de un vértice v5 = grados(v5) = 1

Grado de entrada de un vértice v6 = grados(v6) = 0

Fuera de grado:

Grado exterior de un vértice v1 = grados(v1) = 2

Grado exterior de un vértice v2 = grados(v2) = 3

Grado exterior de un vértice v3 = grados(v3) = 2

Grado exterior de un vértice v4 = grados(v4) = 0

Grado exterior de un vértice v5 = grados(v5) = 2

Grado exterior de un vértice v6 = grados(v6) = 0

Grado de un vértice

Con la ayuda de la definición descrita anteriormente, sabemos que el grado de un vértice Deg(v) = deg-(v) + tú+(v). Ahora lo calcularemos con la ayuda de esta fórmula como esta:

Grado de un vértice v1 = grados(v1) = 1+2 = 3

Grado de un vértice v2 = grados(v2) = 1+3 = 4

Grado de un vértice v3 = grados(v3) = 1+2 = 3

Grado de un vértice v4 = grados(v4) = 5+0 = 5

Grado de un vértice v5 = grados(v5) = 1+2 = 3

Grado de un vértice v6 = grados(v6) = 0+0 = 0

Ejemplo 2:

En este ejemplo, tenemos un gráfico dirigido con 7 vértices. El vértice 'a' contiene 2 aristas, es decir, 'ad' y 'ab', que van hacia afuera. Por lo tanto, el vértice 'a' contiene el grado exterior, que es 2. De manera similar, el vértice 'a' también tiene una arista 'ga', que viene hacia este vértice 'a'. Por lo tanto, el vértice 'a' contiene el grado de entrada, que es 1.

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Solución: El grado de entrada y salida de todos los vértices anteriores se describe a continuación:

En grado:

Grado de entrada de un vértice a = grados(a) = 1

Grado de entrada de un vértice b = grados(b) = 2

Grado de entrada de un vértice c = grados(c) = 2

Grado de entrada de un vértice d = grados(d) = 1

Grado de entrada de un vértice e = grados(e) = 1

Grado de entrada de un vértice f = grados(f) = 1

Grado de entrada de un vértice g = grados(g) = 0

Fuera de grado:

Grado exterior de un vértice a = grados(a) = 2

Grado exterior de un vértice b = grados(b) = 0

Grado exterior de un vértice c = grados(c) = 1

Grado exterior de un vértice d = grados(d) = 1

Grado exterior de un vértice e = grados(e) = 1

Grado exterior de un vértice f = grados(f) = 1

Grado exterior de un vértice g = grados(g) = 2

Grado de cada vértice:

Sabemos que el grado de un vértice Deg(v) = grados-(v) + tú+(v). Ahora lo calcularemos con la ayuda de esta fórmula de esta manera:

Grado de un vértice a = deg(a) = 1+2 = 3

Grado de un vértice b = grado(b) = 2+0 = 2

Grado de un vértice c = deg(c) = 2+1 = 3

Grado de un vértice d = deg(d) = 1+1 = 2

Grado de un vértice e = grado(e) = 1+1 = 2

Grado de un vértice f = grados(f) = 1+1 = 2

Grado de un vértice g = grados(g) = 0+2 = 2

Ejemplo 3: En este ejemplo, tenemos un gráfico dirigido con 5 vértices. El vértice 'a' contiene 1 arista, es decir, 'ae', que van hacia afuera. Por lo tanto, el vértice 'a' contiene un grado exterior, que es 1. De manera similar, el vértice 'a' también tiene una arista 'ba', que viene hacia este vértice 'a'. Por lo tanto, el vértice 'a' contiene el grado de entrada, que es 1.

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Solución: El grado de entrada y salida de todos los vértices anteriores se describe a continuación:

en grado

Grado de entrada de un vértice a = grados(a) = 1

Grado de entrada de un vértice b = grados(b) = 0

Grado de entrada de un vértice c = grados(c) = 2

Grado de entrada de un vértice d = grados(d) = 1

Grado de entrada de un vértice e = grados(e) = 1

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Fuera de grado:

Grado exterior de un vértice a = grados(a) = 1

Grado exterior de un vértice b = grados(b) = 2

Grado exterior de un vértice c = grados(c) = 0

Grado exterior de un vértice d = grados(d) = 1

Grado exterior de un vértice e = grados(e) = 1

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Grado de cada vértice:

Sabemos que el grado de un vértice Deg(v) = grados-(v) + tú+(v). Ahora lo calcularemos con la ayuda de esta fórmula como esta:

Grado de un vértice a = deg(a) = 1+1 = 2

Grado de un vértice b = grado(b) = 0+2 = 2

Grado de un vértice c = deg(c) = 2+0 = 2

Grado de un vértice d = deg(d) = 1+1 = 2

Grado de un vértice e = grado(e) = 1+1 = 2

Ejemplo 4: En este ejemplo, tenemos una gráfica y tenemos que determinar el grado, el grado de entrada y el grado de salida de cada vértice.

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Solución: Para esto, primero averiguaremos el grado de entrada de un vértice y luego el grado de salida de un vértice.

Como podemos ver, el gráfico anterior contiene un total de 8 vértices, es decir, 0, 1, 2, 3, 4, 5 y 6.

En grado:

Grado de entrada de un vértice 0 = grados(0) = 1

Grado de entrada de un vértice 1 = grados(1) = 2

Grado de entrada de un vértice 2 = grados(2) = 2

Grado de entrada de un vértice 3 = grados(3) = 2

Grado de entrada de un vértice 4 = grados(4) = 2

Grado de entrada de un vértice 5 = grados(5) = 2

Grado de entrada de un vértice 6 = grados(6) = 2

Fuera de grado:

Grado exterior de un vértice 0 = grados(0) = 2

Grado exterior de un vértice 1 = grado(1) = 1

Grado exterior de un vértice 2 = grados(2) = 3

Grado exterior de un vértice 3 = grados(3) = 2

Grado exterior de un vértice 4 = grados(4) = 2

Grado exterior de un vértice 5 = grados(5) = 2

Grado exterior de un vértice 6 = grados(6) = 1

Grado de cada vértice:

Sabemos que el grado de un vértice Deg(v) = grados-(v) + tú+(v). Ahora lo calcularemos con la ayuda de esta fórmula como esta:

Grado de un vértice 0 = grado(0) = 1+2 = 3

Grado de un vértice 1 = grado(1) = 2+1 = 3

Grado de un vértice 2 = grado(2) = 2+3 = 5

Grado de un vértice 3 = grado(3) = 2+2 = 4

Grado de un vértice 4 = grado(4) = 2+2 = 4

Grado de un vértice 5 = grado(5) = 2+2 = 4

Grado de un vértice 6 = grado(5) = 2+1 = 3

Secuencia de grados de un gráfico

Para determinar la secuencia de grados de un gráfico, primero debemos determinar el grado de cada vértice en un gráfico. Después de eso, escribiremos estos grados en orden ascendente. Este orden/secuencia se puede llamar secuencia de grados de un gráfico.

Por ejemplo: En este ejemplo, tenemos tres gráficas que tienen 3, 4 y 5 vértices, y la secuencia de grados de todas las gráficas es 3.

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En el gráfico anterior, hay 3 vértices. El grado de una secuencia de este gráfico se describe a continuación:

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En el gráfico anterior, hay 4 vértices. La secuencia de grados de este gráfico se describe a continuación:

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En el gráfico anterior, hay 5 vértices. La secuencia de grados de este gráfico se describe a continuación: