Un matemático famoso De Morgan Inventó los dos teoremas más importantes del álgebra booleana. Los teoremas de DeMorgan se utilizan para la verificación matemática de la equivalencia de las puertas NOR y AND negativa y de las puertas OR negativa y NAND. Estos teoremas juegan un papel importante en la resolución de diversas expresiones de álgebra booleana. En la siguiente tabla, se define la operación lógica para cada combinación de la variable de entrada.
| Variables de entrada | Condición de salida | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| A | B | Y | NAND | O | NI |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 |
Las reglas del teorema de De-Morgan se producen a partir de expresiones booleanas para O, Y y NO utilizando dos variables de entrada x e y. El primer teorema de Demorgan dice que si realizamos la operación AND de dos variables de entrada y luego realizamos la operación NOT del resultado, el resultado será el mismo que la operación OR del complemento de esa variable. El segundo teorema de DeMorgan dice que si realizamos la operación OR de dos variables de entrada y luego realizamos la NO operación del resultado, el resultado será el mismo que la operación AND del complemento de esa variable.
El primer teorema de De-Morgan
Según el primer teorema, el resultado del complemento de la operación Y es igual a la operación O del complemento de esa variable. Por lo tanto, es equivalente a la función NAND y es una función OR negativa que demuestra que (A.B)' = A'+B' y podemos mostrar esto usando la siguiente tabla.
| Entradas | Salida para cada término | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| A | B | AB | (A.B)' | A' | B' | A'A+B' |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Segundo teorema de De-Morgan
Según el segundo teorema, el resultado del complemento de la operación O es igual a la operación Y del complemento de esa variable. Por lo tanto, es el equivalente de la función NOR y es una función Y negativa que demuestra que (A+B)' = A'.B' y podemos demostrar esto usando la siguiente tabla de verdad.
| Entradas | Salida para cada término | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| A | B | A+B | (A+B)' | A' | B' | A'.B' |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Tomemos algunos ejemplos en los que tomamos algunas expresiones y aplicamos los teoremas de DeMorgan.
Ejemplo 1: (A.B.C)'
(A.B.C)'=A'+B'+C'
Ejemplo 2: (A+B+C)'
(A+B+C)'=A'.B'.C
Ejemplo 3: ((A+BC')'+D(E+F')')'
Para aplicar el teorema de DeMorgan a esta expresión, debemos seguir las siguientes expresiones:
1) En expresión completa, primero encontramos aquellos términos a los que podemos aplicar el teorema de DeMorgan y tratar cada término como una única variable.
Entonces,
2) A continuación, aplicamos el primer teorema de DeMorgan. Entonces,
3) A continuación, utilizamos la regla número 9, es decir, (A=(A')') para cancelar las barras dobles.
4) A continuación, aplicamos el segundo teorema de DeMorgan. Entonces,
5) Nuevamente aplica la regla número 9 para cancelar la doble barra
Ahora bien, esta expresión no tiene ningún término en el que podamos aplicar alguna regla o teorema. Entonces esta es la expresión final.
Ejemplo 3: (AB'.(A + C))'+ A'B.(A + B + C')'
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