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Sean A, B y C conjuntos, y sea R una relación de A a B y sea S una relación de B a C. Es decir, R es un subconjunto de A × B y S es un subconjunto de B × C. Entonces R y S dan lugar a una relación de A a C indicada por R◦S y definida por:

 a (R◦S)c if for some b ∈ B we have aRb and bSc. That is, R ◦ S = there exists b ∈ B for which (a, b) ∈ R and (b, c) ∈ S 

De la relación R◦S se conoce la composición de R y S; a veces se denota simplemente por RS.

Sea R una relación sobre un conjunto A, es decir, R es una relación de un conjunto A consigo mismo. Entonces siempre se representa R◦R, la composición de R consigo mismo. Además, R◦R a veces se denota por R². De manera similar, R³=R²◦R = R◦R◦R, y así sucesivamente. Así R^norteestá definido para todo n positivo.

Ejemplo 1: Sean X = {4, 5, 6}, Y = {a, b, c} y Z = {l, m, n}. Considere la relación R₁de X a Y y R₂de Y a Z.

 R<sub>1</sub> = {(4, a), (4, b), (5, c), (6, a), (6, c)} R<sub>2</sub> = {(a, l), (a, n), (b, l), (b, m), (c, l), (c, m), (c, n)} 

Encuentra la composición de la relación. (i) R₁El r₂ (ii) R₁El r₁^-1

Solución:

(i) La relación de composición R₁El r₂como se muestra en la figura:

R₁El r₂ = {(4, l), (4, n), (4, m), (5, l), (5, m), (5, n), (6, l), (6, m), (6, norte)}

(ii) La relación de composición R₁El r₁^-1como se muestra en la figura:

R₁El r₁^-1 = {(4, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 4), (6, 5), (4, 6), (6, 6)}

Composición de relaciones y matrices

Hay otra forma de encontrar R◦S. Dejame_Ry M_Sdenotamos respectivamente las representaciones matriciales de las relaciones R y S. Entonces

Ejemplo

 Let P = {2, 3, 4, 5}. Consider the relation R and S on P defined by R = {(2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5), (4, 5), (5, 3)} S = {(2, 3), (2, 5), (3, 4), (3, 5), (4, 2), (4, 3), (4, 5), (5, 2), (5, 5)}. Find the matrices of the above relations. Use matrices to find the following composition of the relation R and S. (i)RoS (ii)RoR (iii)SoR 

Solución: Las matrices de la relación R y S se muestran en la figura:

(i) Para obtener la composición de la relación R y S. Primero multiplique M_Rcon M_Spara obtener la matriz M_Rxm_Scomo se muestra en la figura:

Las entradas distintas de cero en la matriz M_Rxm_SIndica los elementos relacionados en RoS. Entonces,

Por tanto, la composición R o S de la relación R y S es

 R o S = {(2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 2), (3, 3), (4, 2), (4, 5), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5)}. 

(ii) Primero, multiplica la matriz M_Rpor sí solo, como se muestra en la figura.

Por tanto, la composición R o R de la relación R y S es

 R o R = {(2, 2), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 2), (4, 5), (5, 2), (5, 3), (5, 5)} 

(iii) Multiplicar la matriz M_Scon M_Rpara obtener la matriz M_Sxm_Rcomo se muestra en la figura:

Las entradas distintas de cero en la matriz M_Sxm_Rdice los elementos relacionados en S o R.

Por tanto, la composición S o R de la relación S y R es

 S o R = {(2, 4) , (2, 5), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (4, 2), (4, 4), (4, 5), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5)}.