La cuerda de un círculo es la línea que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia del círculo. Un círculo puede tener varias cuerdas y la cuerda más grande de un círculo es el diámetro del círculo. Podemos calcular fácilmente la longitud de la cuerda usando la Fórmula de longitud de cuerda. Como sugiere el nombre, es la fórmula para calcular la longitud de la cuerda en un círculo en Geometría.

En este artículo aprenderemos sobre la definición de cuerda, teoremas de las cuerdas y del círculo, explicaremos sus propiedades y las fórmulas para calcular la longitud de la cuerda usando diferentes métodos. El artículo también tiene algunos problemas de muestra resueltos para una mejor comprensión.

Tabla de contenidos

• Definición del círculo
• Acorde de un círculo Definición
• ¿Qué es la fórmula de longitud de cuerdas?
• Teoremas de la cuerda de un círculo
• Propiedades de las cuerdas de un círculo
• Problemas resueltos
• Preguntas frecuentes

Definición del círculo

Un círculo es una forma redonda perfecta que consta de todos los puntos de un plano que se encuentran a una distancia determinada de un punto determinado. Consisten en una línea curva cerrada alrededor de un punto central. Los puntos presentes en la recta están a la misma distancia del punto central. La distancia al centro de un círculo se llama radio.

Acorde de un círculo Definición

El segmento de recta que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia del círculo se conoce como cuerda de círculo. Como el diámetro también une los dos puntos de la circunferencia de un círculo, también es una cuerda de un círculo. De hecho, el diámetro es la cuerda más larga del círculo. En otras palabras, la cuerda es un segmento de línea cuyos ambos extremos se encuentran en la circunferencia de un círculo. La siguiente ilustración puede ayudarnos a comprender más.

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¿Qué es la fórmula de longitud de cuerdas?

Existen dos métodos o fórmulas básicas para calcular la longitud de la cuerda. La longitud de una cuerda se puede determinar utilizando la distancia perpendicular desde el centro del círculo, así como mediante el método trigonométrico. Así se puede encontrar la longitud de una cuerda.

• Usando el teorema de Pitágoras
• Usando la ley de los cosenos

Entendamos estos métodos en detalle de la siguiente manera:

Método 1: usar el teorema de Pitágoras

En el siguiente diagrama de una cuerda, como sabemos, la perpendicular trazada desde el centro del círculo hasta la cuerda la divide en dos mitades.

En triángulos OAM, usando Teorema de Pitágoras ,

r²=x²+ d²

⇒x²=r²- d²

⇒x = √(r²- d²)

Como x es la mitad de la longitud de la cuerda,

Por lo tanto, la longitud de la cuerda para cualquier círculo con su distancia perpendicular al centro se conoce como

Longitud de una cuerda de un círculo = 2 ×[√(r ² - d ² )]

Dónde,

• r es el radio del círculo, y
• d es la distancia perpendicular entre el centro del círculo y la cuerda.

Método 2: usar la ley de los cosenos

Como sabemos para un triángulo ABC, con lados a, b y c, la ley del coseno estados,

C ² = un ² +b ² – 2ab porque C

Usando esta ley en el siguiente diagrama de una cuerda que subtiende el ángulo θ en el centro del círculo, podemos encontrar la longitud de la cuerda.

En el triángulo OAB, usando la ley del coseno,

⇒x²=r²+r²– 2×r×r×cos θ

⇒x²= 2r²– 2r²porque θ

⇒x²= 2r²(1- porque θ)

⇒ x = sqrt{2r^2(1- cos heta)}

Rightarrow x =rsqrt{2(sin^2 heta/2 + cos^2 heta/2 – cos^2 heta/2 + sin^2 heta/2)}

Rightarrow x =rsqrt{4sin^2 heta/2 }

Rightarrow x =2rsin heta/2

Por tanto, la longitud de la cuerda viene dada por:

Longitud de la cuerda = 2r × sin [θ/2]

Dónde,

• i es el ángulo subtendido por la cuerda en el centro, y
• r es el radio del círculo.

Otra fórmula relacionada para la longitud de la cuerda

Cuando dos círculos comparten una cuerda común, entonces la longitud de esa cuerda común se puede calcular usando la fórmula

Longitud de una cuerda común de dos círculos = 2R ₁ ×R ₂ / D

Dónde,

• R ₁ y R ₂ se refiere al radio de los círculos
• D es la distancia entre los dos centros del círculo

Teoremas de la cuerda de un círculo

La cuerda del círculo subtiende el ángulo en el centro del círculo, lo que nos ayuda a probar varios conceptos en el círculo. Existen varios teoremas basados ​​en la cuerda de un círculo,

• Teorema 1: Teorema de acordes iguales y ángulos iguales
• Teorema 2: Teorema de cuerdas iguales de ángulos iguales (inverso del teorema 1)
• Teorema 3: Teorema de cuerdas iguales equidistantes del centro

Ahora, analicemos lo mismo en el artículo siguiente.

Teorema 1: Teorema de cuerdas iguales y ángulos iguales

Declaraciones: Cuerdas iguales subtienden ángulos iguales en el centro del círculo, es decir, el ángulo subtiende por la cuerda son iguales si la cuerda es igual.

Prueba:

De la figura,

En ∆AOB y ∆DOC

• AB = CD …eq(i) (Dado)
• OA = OD…eq(ii) (Radio del círculo)
• OB = OC…eq(iii) (Radio del círculo)

Así, según condiciones de congruencia SSS, el Triángulo ∆AOB y ∆COD son congruentes.

De este modo,

∠AOB = ∠DOC (Por CPCT)

Por tanto, se verifica el teorema.

Teorema 2: Teorema de cuerdas iguales de ángulos iguales (inverso del teorema 1)

Declaración: Las cuerdas que subtienden ángulos iguales en el centro de un círculo tienen la misma longitud. Este es el inverso del primer teorema.

De la figura,

En ∆AOB y ∆DOC

• ∠AOB = ∠DOC …eq(i) (Dado)
• OA = OD…eq(ii) (Radio del círculo)
• OB = OC…eq(iii) (Radio del círculo)

Así, según las condiciones de congruencia de SAS, el Triángulo ∆AOB y ∆COD son congruentes.

De este modo,

AB = CD (Por CPCT)

Por tanto, se verifica el teorema.

Teorema 3: Teorema de cuerdas iguales equidistantes del centro

Declaración: Las cuerdas iguales equidistan del centro, es decir, la distancia entre el centro del círculo y la cuerda igual es siempre igual.

De la figura,

En ∆AOL y ∆COM

• ∠ALO = ∠CMO …eq(i) (90 grados)
• OA = OC…eq(ii) (Radio del círculo)
• OL = OM …eq(iii) (Dado)

Así, según condiciones de congruencia RHS, el Triángulo ∆AOB y ∆COD son congruentes.

De este modo,

AL = CM (Por CPCT)…(iv)

Ahora sabemos que la perpendicular trazada desde el centro biseca las cuerdas.

De la ecuación (iv)

2AL=2CM

AB = CD

Por tanto, se verifica el teorema.

Propiedades de las cuerdas de un círculo

Hay varias propiedades de las cuerdas en un círculo, algunas de esas propiedades son las siguientes:

• Una cuerda que pasa por el centro de un círculo se llama diámetro y es la cuerda más larga del círculo.
• La perpendicular a una cuerda, que se traza desde el centro del círculo, biseca la cuerda.
• Las cuerdas que están equidistantes del centro de un círculo tienen la misma longitud.
• Sólo hay una circunferencia que pasa por tres puntos colineales.
• Las cuerdas de igual longitud subtienden ángulos iguales en el centro de un círculo.
• La mediatriz de una cuerda pasa por el centro del círculo.
• Si un radio es perpendicular a una cuerda, entonces biseca la cuerda y el arco que intercepta. Esto se conoce como teorema de la bisectriz perpendicular.
• Cuando los ángulos subtendidos por una cuerda son iguales, entonces las longitudes de las cuerdas también son iguales.
• Si dos cuerdas en un círculo se cruzan, entonces el producto de los segmentos de una cuerda es igual al producto de los segmentos de la otra cuerda. Esto se conoce como teorema de las cuerdas que se cruzan.
• El ángulo subtendido por una cuerda en el centro es el doble del ángulo subtendido por la cuerda en la circunferencia.

Leer más,

• Ecuación de un círculo
• Área de un círculo
• Circunferencia del círculo

Problemas resueltos sobre cuerda de círculo

Problema 1: Un círculo es un ángulo de 70 grados cuyo radio es de 5 cm. Calcula la longitud de la cuerda del círculo.

Solución:

Dado

• Radio = 5 cm
• Ángulo = 70°

Ahora,

longitud de la cuerda = 2R × Sin [ángulo/2]

= 2 × 5 × sin [70/2]

= 10 × sen35°

= 10 × 0.5736

= 5,73 cm

Problema 2: en círculo , el radio es de 7 cm y la distancia perpendicular desde el centro del círculo a sus cuerdas es de 6 cm. Calcula la longitud de la cuerda.

Solución:

Dado

• Radio = 7 cm
• Distancia = 6 cm

Ahora,

Longitud de la cuerda = 2 √r²- d²

= 2 √7²– 6²

= 2 √ 49- 36

= 2 √13cm

Problema 3: Un círculo es un ángulo de 60 grados cuyo radio es de 12 cm. Calcula la longitud de la cuerda del círculo.

Solución:

Dado

• Radio = 12 cm
• Ángulo = 60°

Ahora,

longitud de la cuerda = 2R × Sin [ángulo/2]

⇒ 2 × 12 × sin [60/2]

⇒ 24 × sen30°

⇒ 24 × 0.5

⇒ 12cm

Problema 4: En un círculo, el radio es de 16 cm y la distancia perpendicular desde el centro del círculo a sus cuerdas es de 5 cm. Calcula la longitud de la cuerda.

Solución:

Dado

• Radio = 16 cm
• Distancia = 5 cm

Ahora,

Longitud de la cuerda = 2 √r²- d²

⇒ 2 √(16)²– (5)²

⇒ 2 √ 256- 25

⇒ 2 √231

⇒ 2 × 15.1

⇒ 30,2 cm

Problema 6: Calcula la longitud de una cuerda común entre los círculos de 6 cm y 5 cm de radio respectivamente. Y se midió que la distancia entre los dos centros era de 8 cm.

Solución:

Dado

Distancia entre los dos centros = 8cm

El radio de los dos círculos es R.₁y r₂con longitudes de 6 cm y 5 cm respectivamente

Ahora,

Longitud de una cuerda común de dos círculos = (2R₁×R₂) / Distancia entre dos centros de círculos

⇒ 2 × 5 × 6/8

⇒ 60/8

⇒ 7,5 cm

Preguntas frecuentes sobre la cuerda de un círculo

Definir acorde.

Un segmento de línea que une dos puntos de la circunferencia del círculo se conoce como cuerda.

¿Qué es la fórmula de longitud de cuerdas?

La fórmula de longitud de cuerda calcula la longitud de una cuerda en un círculo.

¿Puede la longitud de una cuerda ser mayor que el diámetro de un círculo?

No, la longitud de una cuerda no puede ser mayor que el diámetro ya que el diámetro es la cuerda más larga del círculo.

¿Cómo se ve afectada la longitud de una cuerda si está más cerca del centro del círculo?

A medida que la cuerda se acerca al centro del círculo, su longitud se acerca a la longitud máxima, es decir, el diámetro.

¿Cómo se ve afectada la longitud de una cuerda si está más cerca del borde del círculo?

A medida que la cuerda se acerca al borde del círculo, su longitud se acerca a 0. Por lo tanto, la longitud de la cuerda y su distancia desde el borde tienen una relación inversa.

¿Cuál es la relación entre la longitud de la cuerda y el ángulo central de un círculo?

La relación entre la longitud de la cuerda e y el ángulo central de un círculo es la siguiente:

Longitud de la cuerda = 2r × sin [θ/2]

Dónde,

• i es el ángulo subtendido por la cuerda en el centro, y
• r es el radio del círculo.

¿Se puede utilizar la fórmula de longitud de cuerda para cualquier círculo?

Sí, la fórmula de longitud de cuerda se puede utilizar para cualquier círculo, siempre que se conozcan el radio y el ángulo central.

¿Es el diámetro una cuerda de un círculo?

Sí, el diámetro es una cuerda de círculo. Es la cuerda más larga posible de un círculo. Es igual al doble del radio del círculo.

re = 2r

Dónde,

• D es el diámetro del círculo
• r es el radio del círculo