Si estás estudiando trigonometría o cálculo (o preparándote para hacerlo), necesitarás familiarizarte con el círculo unitario. El círculo unitario es una herramienta esencial que se utiliza para resolver el seno, el coseno y la tangente de un ángulo. pero como funciona? ¿Y qué información necesitas saber para poder utilizarlo?
En este artículo te explicamos qué es el círculo unitario y por qué debes conocerlo. También te damos tres consejos que te ayudarán a recordar cómo utilizar el círculo unitario.
Imagen destacada: Gustavb /Wikimedia
El círculo unitario: una introducción básica
El círculo unitario es un círculo con un radio de 1. Esto significa que para cualquier línea recta trazada desde el punto central del círculo hasta cualquier punto a lo largo del borde del círculo, la longitud de esa línea siempre será igual a 1. (Esto también significa que el diámetro del círculo será igual a 2, ya que el diámetro es igual al doble de la longitud del radio.)
Típicamente, el punto central del círculo unitario es donde se cruzan los ejes x y y, o en las coordenadas (0, 0):
Es útil conocer el círculo unitario, o círculo trigonométrico como también se lo conoce, porque nos permite calcular fácilmente el coseno, el seno y la tangente de cualquier ángulo entre 0° y 360° (o 0 y 2π radianes).
Como puedes ver en el diagrama de arriba, al dibujar un radio en cualquier ángulo (marcado con ∝ en la imagen), crearás un triángulo rectángulo. En este triángulo, el coseno es la línea horizontal y el seno es la línea vertical. En otras palabras, coseno =coordenada x, y sine = y-coordinate. (La recta más larga del triángulo, o hipotenusa, es el radio y, por lo tanto, es igual a 1.)
¿Por qué es todo esto importante? Recuerda que puedes resolver las longitudes de los lados de un triángulo usando la Teorema de Pitágoras, o $a^2+b^2=c^2$ (en el cual a y b son las longitudes de los lados del triángulo, y C es la longitud de la hipotenusa).
Sabemos que el coseno de un ángulo es igual a la longitud de la recta horizontal, el seno es igual a la longitud de la recta vertical y la hipotenusa es igual a 1. Por tanto, podemos decir que la fórmula para cualquier triángulo rectángulo en el círculo unitario es la siguiente:
$$cos^2θ+sin^2θ=1^2$$
Dado que ^2=1$, podemos simplificar esta ecuación de esta manera:
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$$cos^2θ+sin^2θ=1$$
Sé consciente de estos valores pueden ser negativos dependiendo del ángulo formado y en qué cuadrante se encuentran las coordenadas x e y (explicaré esto con más detalle más adelante).
Aquí hay una descripción general de todos los ángulos principales en grados y radianes en el círculo unitario:
Círculo unitario: grados
Círculo unitario: radianes
¿Pero qué pasa si no se forma ningún triángulo? Miremos a ¿Qué sucede cuando el ángulo es 0°, creando una línea recta horizontal a lo largo del eje x?
En esta línea, la coordenada x es igual a 1 y la coordenada y es igual a 0. Sabemos que el coseno es igual a la coordenada x y el seno es igual a la coordenada y, entonces podemos escribir esto:
- $cos0°=1$
- $sin0°=0$
Y si ¿El ángulo es de 90° y forma una línea perfectamente vertical a lo largo del eje y?
Aquí podemos ver que la coordenada x es igual a 0 y la coordenada y es igual a 1. Esto nos da los siguientes valores para seno y coseno:
- $cos90°=0$
- $sin90°=1$
Este eslogan definitivamente se aplica si no eres un amante de las matemáticas.
Por qué deberías conocer el círculo unitario
Como se indicó anteriormente, el círculo unitario es útil porque nos permite resolver fácilmente el seno, coseno o tangente de cualquier grado o radianes. Es especialmente útil conocer el gráfico de círculo unitario si necesitas resolver ciertos valores trigonométricos para la tarea de matemáticas o si te estás preparando para estudiar cálculo.
Pero, ¿cómo puede ayudarte exactamente conocer el círculo unitario? Digamos que te plantean el siguiente problema en un examen de matemáticas y estás no Se permite usar una calculadora para resolverlo:
$$sin30°$$
¿Por dónde empiezas? Echemos un vistazo nuevamente al gráfico de círculo unitario, esta vez con todos los ángulos mayores (tanto en grados como en radianes) y sus correspondientes coordenadas:
Jim.belk /Wikimedia
¡No te abrumes! Recuerda, todo lo que estás resolviendo es $sin30°$. Al observar este gráfico, podemos ver que la coordenada y es igual a /2$ en 30°. Y como la coordenada y es igual al seno, nuestra respuesta es la siguiente:
$$sin30°=1/2$$
Pero, ¿qué pasa si tienes un problema que utiliza radianes en lugar de grados? El proceso para solucionarlo sigue siendo el mismo. Digamos, por ejemplo, que tienes un problema similar a este:
$$cos{{3π}/4}$$
Nuevamente, usando el cuadro anterior, podemos ver que la coordenada x (o coseno) para ${3π}/4$ (que es igual a 135°) es $-{√2}/2$. Así es como se vería nuestra respuesta a este problema entonces:
$$cos({3π}/4)=-{√2}/2$$
Todo esto es bastante fácil si tienes el gráfico de círculo unitario de arriba para usarlo como referencia. Pero la mayoría (si no todas) de las veces, este no será el caso, y se espera que usted responda este tipo de preguntas matemáticas utilizando únicamente su cerebro.
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Entonces, ¿cómo puedes recordar el círculo unitario? ¡Sigue leyendo para conocer nuestros mejores consejos!
Cómo recordar el círculo unitario: 3 consejos esenciales
En esta sección, te brindamos nuestros mejores consejos para recordar el círculo trigonométrico para que puedas usarlo con facilidad en cualquier problema matemático que lo requiera.
No recomendaría practicar el círculo unitario con post-its, pero bueno, es un comienzo.
#1: Memoriza ángulos y coordenadas comunes
Para utilizar el círculo unitario de forma eficaz, necesitarás Memorizar los ángulos más comunes (tanto en grados como en radianes), así como sus correspondientes coordenadas x e y.
El diagrama anterior es un gráfico de círculo unitario útil, ya que incluye todos los ángulos principales tanto en grados como en radianes, además de sus correspondientes puntos de coordenadas a lo largo de los ejes x e y.
Aquí hay un cuadro que enumera esta misma información en forma de tabla:
| Ángulo (grados) | Ángulo (radianes) | Coordenadas del punto en el círculo |
| 0° / 360° | 0 / 2p | (1, 0) |
| 30° | $p/ | $({√3}/2, 1/2)$ |
| 45° | $p/4$ | $({√2}/2, {√2}/2)$ |
| 60° | $p/3$ | $(1/2,{√3}/2)$ |
| 90° | $π/2$ | (0, 1) |
| 120° | ${2π}/3$ | $(-1/2, {√3}/2)$ |
| 135° | ${3π}/4$ | $(-{√2}/2, {√2}/2)$ |
| 150° | ${5π}/6$ | $(-{√3}/2, 1/2)$ |
| 180° | Pi | (-1, 0) |
| 210° | /6$ | $(-{√3}/2, -1/2)$ |
| 225° | ${5π}/4$ | $(-{√2}/2, -{√2}/2)$ |
| 240° | ${4π}/3$ | $(-1/2, -{√3}/2)$ |
| 270° | ${3π}/2$ | (0, -1) |
| 300° | ${5π}/3$ | $(1/2, -{√3}/2)$ |
| 315° | ${7π}/4$ | $({√2}/2, -{√2}/2)$ |
| 330° | ${11π}/6$ | $({√3}/2, -1/2)$ |
Ahora, si bien eres más que bienvenido a intentar memorizar todas estas coordenadas y ángulos, esto es mucho de cosas para recordar.
Afortunadamente, existe un truco que puedes utilizar para recordar las partes más importantes del círculo unitario.
Mire las coordenadas de arriba y notará un patrón claro: todos los puntos (excluidos los de 0°, 90°, 270° y 360°) alternar entre sólo tres valores (ya sean positivos o negativos):
- /2$
- ${√2}/2$
- ${√3}/2$
Cada valor corresponde a una línea corta, media o larga tanto para el coseno como para el seno:
Esto es lo que significan estas longitudes:
- 30° / $p/
- 45°/$p/4$
- 60°/$p/3$
- $sin45°$
- $cos240°$
- $cos{5π}/3$
- $ an{2π}/3$
- ${√2}/2$
- $-1/2$
- /2$
- $-√3$
- El ángulo de 45° crea una línea vertical de longitud media (para ellos)
- El ángulo de 240° crea una línea horizontal corta (para coseno)
Por ejemplo, si estás intentando resolver $cos{π/3}$, debes saber de inmediato que este ángulo (que es igual a 60°) indica una línea horizontal corta en el círculo unitario. Por lo tanto, su coordenada x correspondiente debe ser igual a /2$ (un valor positivo, ya que $π/3$ crea un punto en el primer cuadrante del sistema de coordenadas).
Finalmente, si bien es útil memorizar todos los ángulos de la tabla anterior, tenga en cuenta que Con diferencia, los ángulos más importantes a recordar son los siguientes:
Trate sus aspectos negativos y positivos como lo haría con los cables que potencialmente pueden matarlo si se conectan incorrectamente.
#2: Aprenda qué es negativo y qué es positivo
Es fundamental poder distinguir las coordenadas xey positivas y negativas para encontrar el valor correcto para un problema trigonométrico. Como recordatorio, En El hecho de que una coordenada en el círculo unitario sea positiva o negativa depende de En qué cuadrante (I, II, III o IV) se encuentra el punto:
Aquí hay una tabla que muestra si una coordenada será positiva o negativa según el cuadrante en el que se encuentra un ángulo particular (en grados o radianes):
| Cuadrante | Coordenada X (coseno) | Y-Coordinate (Sine) |
| I | + | + |
| II | − | + |
| III | − | − |
| IV | + | − |
Por ejemplo, supongamos que le plantean el siguiente problema en un examen de matemáticas:
$$cos210°$$
Antes incluso de intentar resolverlo, deberías poder reconocer que la respuesta será un numero negativo ya que el ángulo de 210° cae en el cuadrante III (donde las coordenadas x son siempre negativo).
Ahora, usando el truco que aprendimos en el consejo 1, puedes descubrir que un ángulo de 210° crea una larga línea horizontal. Por tanto, nuestra respuesta es la siguiente:
$$cos210°=-{√3}/2$$
#3: Sepa cómo resolver la tangente
Por último, es fundamental saber utilizar toda esta información sobre el círculo trigonométrico y el seno y el coseno para poder resolver para la tangente de un ángulo.
En trigonometría, para encontrar la tangente de un ángulo θ (en grados o radianes), simplemente dividir el seno por el coseno:
$$ anθ={sinθ}/{cosθ}$$
Por ejemplo, digamos que estás intentando responder a este problema:
$$ an300°$$
El primer paso es establecer una ecuación en términos de seno y coseno:
$$ an300°={sin300°}/{cos300°}$$
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Ahora, para resolver la tangente, necesitamos encontrar el seno y coseno de 300°. Debería poder reconocer rápidamente que el ángulo de 300° cae en el cuarto cuadrante, lo que significa que el coseno, o coordenada x, será positivo y el seno, o coordenada y, será negativo.
También debes saber de inmediato que el ángulo de 300° crea una línea horizontal corta y una línea vertical larga. Por lo tanto, el coseno (la línea horizontal) será igual a /2$, y el seno (la línea vertical) será igual a $-{√3}/2$ (un valor de y negativo, ya que este punto está en el cuadrante IV) .
Ahora, para encontrar la tangente, todo lo que debes hacer es conectar y resolver:
$$ an300°={-{√3}/2}/{1/2}$$
$$ an300°=-√3$$
¡Es hora de poner en práctica tus habilidades matemáticas!
Conjunto de preguntas de práctica del círculo unitario
Ahora que sabes cómo luce el círculo unitario y cómo usarlo, probemos lo que has aprendido con algunos problemas de práctica.
Preguntas
Respuestas
Explicaciones de respuestas
#1: $sin45°$
Con este problema, hay dos datos que debería poder identificar de inmediato:
Dado que 45° indica una línea positiva de longitud media, la respuesta correcta es ${√2}/2$.
Si no estás seguro de cómo resolver esto, dibuja un diagrama que te ayude a determinar si la longitud de la línea será corta, mediana o larga.
#2: $cos240°$
Al igual que el problema n.º 1 anterior, hay dos datos que debería poder comprender rápidamente con este problema:
Dado que 240° indica una línea corta y negativa, la respuesta correcta es $-1/2$.
#3: $cos{5π}/3$
A diferencia de los problemas anteriores, este problema utiliza radianes en lugar de grados. Aunque esto puede hacer que el problema parezca más complicado de resolver, en realidad utiliza los mismos pasos básicos que los otros dos problemas.
Primero, debes reconocer que el ángulo ${5π}/3$ está en el cuadrante IV, por lo que la coordenada x, o coseno, será un número positivo. También deberías poder decir eso.${5π}/3$crea una línea horizontal corta.
Esto le proporciona suficiente información para determinar que el la respuesta es /2$.
#4: $ an{2π}/3$
Este problema trata con la tangente en lugar de con el seno o el coseno, lo que significa que requerirá un poco más de matemáticas de nuestra parte. Primero que nada, recuerda la fórmula básica para encontrar la tangente:
$$ an θ={sin θ}/{cos θ}$$
Ahora, tomemos el grado que nos han dado: ${2π}/3$—y conéctelo a esta ecuación:
$$ an {2π}/3={sin {2π}/3}/{cos {2π}/3}$$
Ahora deberías poder resolver el seno y el coseno por separado usando lo que has memorizado sobre el círculo unitario. Como el ángulo ${2π}/3$ está en el cuadrante II, la coordenada x (o coseno) será negativa y la coordenada y (o seno) será positiva.
A continuación, debería poder determinar basándose únicamente en el ángulo en que se encuentra la línea horizontal. una línea corta, y la línea vertical es una larga linea. Esto significa que el coseno es igual a $-1/2$ y el seno es igual a ${√3}/2$.
Ahora que hemos descubierto estos valores, todo lo que tenemos que hacer es introducirlos en nuestra ecuación inicial y resolver la tangente:
$$ an {2π}/3={{√3}/2}/{-1/2}$$
$$ an {2π}/3=-√3$$
¿Que sigue?
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Además de memorizar el círculo unitario, Es una buena idea aprender a ingresar números y respuestas. Lea nuestras guías para aprender todo sobre estas dos estrategias útiles, que puede utilizar en cualquier examen de matemáticas, ¡incluidos el SAT y ACT!