Distribución uniforme es la distribución de probabilidad que representa resultados igualmente probables, es decir, la probabilidad de que ocurra cada resultado es la misma. Hay dos tipos de distribución uniforme: distribución uniforme discreta y distribución uniforme continua (el tipo más común en estadística elemental). Define la función de densidad de la variable aleatoria, la media y la varianza.

En este artículo, aprenderemos sobre la distribución uniforme, los tipos de distribución uniforme y las fórmulas de distribución uniforme junto con algunos ejemplos resueltos basados ​​en ellos.

Tabla de contenidos

• Distribución uniforme
• Fórmula de distribución uniforme
• Tipos de distribución uniforme
• Distribuciones uniformes continuas o distribuciones rectangulares
• Distribución uniforme discreta

Distribución uniforme

Una distribución uniforme es una distribución que tiene una probabilidad constante debido a que ocurren eventos igualmente probables. También se la conoce como distribución rectangular (distribución uniforme continua). Tiene dos parámetros a y b: a = mínimo y b = máximo. La distribución se escribe como U (a, b).

Definición de distribución uniforme

Una distribución uniforme es un tipo de distribución de probabilidad donde cada resultado posible tiene la misma probabilidad de ocurrir. Esto significa que todos los valores dentro de un rango determinado tienen la misma probabilidad de ser observados.

Gráfico de distribución uniforme

Calculando la altura del rectángulo:

La probabilidad máxima de la variable X es 1 por lo que el área total del rectángulo debe ser 1.

Área del rectángulo = base × altura = 1

(b – a) × f(x) = 1

f(x) = 1/(b – a) = altura del rectángulo

Gráfico de función de distribución acumulativa

Nota: Distribución uniforme discreta: Px = 1/n. donde, pag_X= Probabilidad de una variable discreta, n = Número de valores en el rango

Fórmula de distribución uniforme

Se dice que una variable aleatoria X está distribuida uniformemente en el intervalo -∞

java es instancia de

y f(x) = 0 en caso contrario.

Función de distribución acumulativa (CDF)

La función de distribución acumulativa (CDF) de una distribución uniforme continua da la probabilidad de que una variable aleatoria sea menor o igual a un determinado valor. Para la distribución uniforme continua sobre [a, b], la CDF se define como:

F(x) = (x – a) / (b – a) para a ≤ x ≤ b

y F(x) = 0 para x b.

Generando funciones

La generación de funciones proporciona una forma de representar secuencias de números como series de potencias. En teoría de la probabilidad, las funciones generadoras se utilizan a menudo para manipular secuencias de variables aleatorias. Pueden simplificar los cálculos y ayudar a derivar propiedades importantes de variables y distribuciones aleatorias.

Distribución uniforme estándar

La distribución uniforme estándar es un caso especial de distribución uniforme continua donde el intervalo es [0, 1]. Se utiliza ampliamente en simulaciones, generación de números aleatorios y diversas aplicaciones estadísticas.

Propiedades de las distribuciones uniformes continuas

• Igual densidad de probabilidad dentro del intervalo.
• La función de distribución acumulativa aumenta linealmente dentro del intervalo.
• La media de una distribución uniforme continua es el punto medio del intervalo.
• La varianza de una distribución uniforme continua es [(b – a)²] / 12.

Aplicaciones de distribuciones uniformes continuas

• Modelar la incertidumbre en diversos campos como la ingeniería, las finanzas y la física.
• Generación de números aleatorios para simulaciones y juegos.
• Se utiliza en control estadístico de calidad para modelar la uniformidad en los procesos de fabricación.
• En criptografía para generar claves y crear permutaciones aleatorias.
• Como distribución de referencia para comparar con otras distribuciones en el análisis estadístico.

Distribución uniforme discreta

La distribución uniforme discreta es una probabilidad distribución que describe la probabilidad de resultados cuando cada resultado en un conjunto finito es igualmente probable. Se caracteriza por una función de masa de probabilidad (PMF) constante en un rango finito de valores.

La distribución uniforme discreta sirve como modelo fundamental en teoría de probabilidad y estadística, proporcionando una manera simple pero efectiva de describir la incertidumbre en situaciones donde los resultados son igualmente probables. Sus propiedades y aplicaciones se extienden a diversas disciplinas, lo que la convierte en una herramienta versátil en el análisis de datos y los procesos de toma de decisiones.

Estimación del máximo

En Estadísticas , la estimación del máximo se refiere a los métodos utilizados para estimar el valor más grande o la observación máxima en un conjunto de datos. Para este fin se emplean comúnmente técnicas como la estadística de orden y la estimación de máxima verosimilitud.

Permutación aleatoria

Una permutación aleatoria es una disposición aleatoria de un conjunto de elementos o elementos. A menudo se utiliza en diversos campos, como la criptografía, la estadística y la informática. Generar permutaciones aleatorias es esencial en algoritmos, simulaciones y diseños experimentales.

Propiedades de la distribución uniforme discreta

• Cada resultado en el espacio muestral tiene la misma probabilidad de ocurrir.
• La función de masa de probabilidad (PMF) es constante en todo el rango de resultados posibles.
• La media de una distribución uniforme discreta es el promedio de los valores mínimo y máximo.
• La varianza de una distribución uniforme discreta es [(n^2 – 1) / 12], donde n es el número de resultados posibles.

Aplicaciones de la distribución uniforme discreta

• Lanzar dados justos o lanzar monedas justas, donde cada resultado tiene la misma probabilidad.
• Modelar escenarios donde no hay preferencia ni sesgo hacia ningún resultado en particular.
• Muestreo sin reemplazo, como seleccionar muestras aleatorias de una población finita.
• Generación de números aleatorios para simulaciones, métodos de Monte Carlo y algoritmos aleatorios.
• Crear permutaciones aleatorias para barajar barajas de cartas, diseñar experimentos y aplicaciones criptográficas.

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Preguntas de muestra

Pregunta 1: Una variable aleatoria X tiene una distribución uniforme sobre (-2, 2),

(i) encontrar k para el cual P(X>k) = 1/2 (ii) evaluar P(X<1) (iii) P[|X-1|<1]

Solución:

(i) X =f(x) = 1/(b-a) =1/(2-(-2)) = 1/4

P(X>k) = 1 – P(X≤ k) = 1 –int_{-2}^{k}f(x)dx

= 1 – (1/4).int_{-2}^{k}dx =1 – (k+2)/4 = 1/2

La actriz Rubina Dilaik

Resolviendo obtenemos k = 0

(ii) P(X<1) =int_{-2}^{1}f(x)dx =(1/4).int_{-2}^{k}dx = 3/4

(iii) P[|X-1| <1] = P[1-1int_{0}^{1}f(x)dx = (1/4).int_{0}^{1}dx = 1/4

Pregunta 2: Si X está distribuido uniformemente en (-1, 4), entonces

(i) su media es ______________.

(ii) su varianza es ______________.

(iii) su desviación estándar es ___________.

tabla de numeros romanos 1 100

(iv) su mediana es ______________.

Solución:

Aquí, a = -1 y b = 4

(i) Media (μ) = (4-1)/2 = 1,5

(ii) Varianza(σ²) = (4+1)²/12 = 2.08

(iii) Desviación estándar(σ) =√2,08 = 1,443

(v) Mediana = (4-1)/2 = 1,5

Pregunta 3: Si hay 52 cartas en la baraja tradicional de cuatro palos: corazones, picas, tréboles y diamantes. Cada suite contiene 13 cartas de las cuales 3 son cartas con figuras. La nueva baraja se forma excluyendo el número de cartas. Entonces, ¿cuál es la probabilidad de obtener una carta de corazón de la baraja modificada?

Solución:

En la pregunta, el número dado de cartas es finito, por lo que es una distribución uniforme discreta.

La fórmula para la probabilidad en distribución uniforme discreta es P(X) = 1/n

Probabilidad de conseguir corazón en la baraja modificada = 1/4 = 0,25

Pregunta 4: Utilizando la función de densidad de probabilidad de distribución uniforme para la variable aleatoria X, en (0, 20), encuentre P(3