La forma estándar de la ecuación cuadrática es hacha ² + bx + c = 0 , donde a, byc son constantes y x es una variable. La forma estándar es una forma común de representar cualquier notación o ecuación. Las ecuaciones cuadráticas también se pueden representar de otras formas como,

• Forma de vértice: a(x-h) ² + k = 0
• Forma de intercepción: a(x – p)(x – q) = 0

Forma estándar de ecuación cuadrática

En este artículo aprenderemos sobre la forma estándar de la ecuación cuadrática, cómo cambiarla a la forma estándar de la ecuación cuadrática y otras en detalle.

Forma estándar de ecuación cuadrática

Forma estándar de una ecuación cuadrática

Ecuaciones cuadráticas son ecuaciones de segundo grado en una sola variable y la forma estándar de ecuaciones cuadráticas se da de la siguiente manera:

hacha ² + bx + c = 0

Dónde,

• a, b, y C son números enteros
• un ≠ 0
• 'a' es el coeficiente de x²
• 'b' es el coeficiente de x
• 'c' es la constante

Ejemplos de forma estándar de ecuación cuadrática

Varios ejemplos de la ecuación cuadrática en forma estándar son,

• 11x²– 13x + 18 = 0
• (-14/3)x²+ 2/3x – 1/4 = 0
• (-√12)x²– 8x = 0
• -3x²+ 9 = 0

Forma general de ecuación cuadrática

La forma general de la ecuación cuadrática es similar a la forma estándar de la ecuación cuadrática. La forma general de la ecuación cuadrática es, ax²+ bx + c = 0 donde a, b y c son Numeros reales y un ≠ 0 .

Aprende más

• Función cuadrática
• Ecuación estándar de parábola

Convertir ecuaciones cuadráticas a forma estándar

Conversión de ecuaciones cuadráticas a forma estándar

Paso 1: Reorganice la ecuación para que los términos estén en orden de grado decreciente (de mayor a menor).

Paso 2: Combine cualquier término semejante, es decir, sume y reste términos semejantes.

Paso 3: Asegúrese de que el coeficiente 'a' de x²término es positivo. Si es negativo, multiplica la ecuación completa por -1.

Etapa 4: Si falta algún término, es decir, un término con x, agregue 0.x para eso.

Ejemplo de conversión de ecuaciones cuadráticas a la forma estándar

Entendamos el concepto de convertir ecuaciones cuadráticas a la forma estándar usando el siguiente ejemplo:

Ejemplo: convierta la siguiente ecuación lineal a la forma estándar: 2x ² – 5x = 2x – 3

Paso 1: Reordena la ecuación.

2x ² – 5x – 2x + 3 = 0

Paso 2: Combina cualquier término semejante.

2x ² – 7x + 3 = 0

Paso 3: El coeficiente del término principal ya es positivo, por lo que no es necesario multiplicarlo por -1.

Etapa 4: No faltan términos del s.

De este modo, 2x ² – 7x + 3 = 0 es la forma estándar de la ecuación dada.

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Convertir la forma estándar de la ecuación cuadrática en forma de vértice

Sabemos que la forma estándar de una ecuación cuadrática es ax.²+ bx + c = 0 y la forma de vértice es a(x-h) ² + k = 0 (donde (h, k) es el vértice de la función cuadrática.

Ahora podemos convertir fácilmente la forma estándar a forma de vértice comparando estas dos ecuaciones como,

hacha²+ bx + c = a (x – h)²+k

⇒ hacha²+ bx + c = a (x²– 2xh+h²) + k

⇒ hacha²+ bx + c = hacha²– 2ahx + (ah²+k)

Comparando coeficientes de x en ambos lados,

b = -2ah

⇒h = -b/2a… (1)

Comparando constantes en ambos lados,

c = ah²+k

⇒ c = a (-b/2a)²+k (De (1))

⇒ c = b²/(4a) + k

⇒ k = c – (b²/4a)

⇒ k = (4ac – b ² ) / (4a)

Ahora las fórmulas h = -b/2a y k = (4ac – b²) /(4a) se utilizan para convertir el estándar a forma de vértice.

Ejemplo de conversión de forma estándar a forma de vértice

Considere la ecuación cuadrática 3x²– 6x + 4 = 0. Comparando esto con ax²+ bx + c = 0, obtenemos a = 3, b = -6 y c = 4. Ahora, para la forma de vértice, encontramos h y k

h = -b/2a

⇒ h = -(-6) / (2,3) = 1

⇒ k = (4ac – b²) / (4a)

⇒ k = (4.3.4 – (-6)²) / (4.3)

⇒ k = (48 – 36) / 12 = 1

Sustituyendo a = 3, h = 1 y k = 1, la forma del vértice a(x – h)²+ k = 0 es,

3(x-1)²+ 1 = 0

Conversión de forma de vértice a forma estándar

Podemos convertir fácilmente la forma de vértice de una ecuación cuadrática a la forma estándar simplemente resolviendo (x-h) ² = (x – h) (x – h) y simplificando.

Consideremos el ejemplo anterior 2(x – 1)²+ 1 = 0 y convertirlo nuevamente al formato estándar.

3(x-1)²+ 1 = 0 (Forma de vértice)

⇒ 3(x)²– x – x + 1) + 1 = 0

⇒ 3(x)²– 2x + 1) + 1 = 0

⇒ 3x²– 6x + 3 + 1 = 0

⇒ 3x²– 6x + 4 = 0… (i) (Forma estándar)

Ecuación (i) es la forma estándar requerida de la forma cuadrática.

Conversión de la forma estándar de la ecuación cuadrática a la forma de intersección

Sabemos que la forma estándar de una ecuación cuadrática es ax.²+ bx + c = 0 y la forma de vértice es a(x – p)(x – q) = 0 donde (p, 0) y (q, 0) son la intersección con el eje x y la intersección con el eje y, respectivamente.

Ahora podemos convertir fácilmente la forma estándar en forma de intersección mediante resolver ecuaciones cuadráticas ya que p y q son las raíces de la ecuación cuadrática.

Ejemplo de conversión de forma estándar a forma de intersección

Considere la ecuación cuadrática 3x²– 8x + 4 = 0. Comparando esto con ax²+ bx + c = 0, obtenemos a = 3, b = -8 y c = 4. Ahora encontramos las raíces de la ecuación cuadrática como

3x²– 8x + 4 = 0

⇒ 3x²– (6+2)x + 4 = 0

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⇒ 3x²– 6x – 2x + 4 = 0

⇒ 3x(x – 2) -2(x – 2) = 0

⇒ (3x -2)(x – 2) = 0

⇒ (3x -2) = 0 y (x – 2) = 0

⇒ x = 2/3 yx = 2

Por tanto, la forma de intersección de la ecuación cuadrática es,

a(x – p)(x – q) = 0

⇒ 3(x – 2/3)(x – 2) = 0

⇒ (3x -2)(x – 2) = 0

Convertir la forma de intersección a la forma estándar

Podemos convertir fácilmente la forma de vértice de una ecuación cuadrática a la forma estándar simplemente resolviendo (x – p)(x – q) = 0 y simplificando.

Consideremos el ejemplo anterior (3x -2)(x – 2) = 0 y convirtámoslo nuevamente a su forma estándar.

(3x -2)(x – 2) = 0 (Formulario de intercepción)

⇒ 3x²– 6x – 2x + 4 = 0

⇒ 3x²– 8x + 4 = 0… (i) (Forma estándar)

Ecuación (i) es la forma estándar requerida de la forma cuadrática.

Leer más

• Fórmula cuadrática
• Raíces de ecuaciones cuadráticas
• Relación entre ceros y coeficientes de un polinomio

Ejemplos de ecuaciones cuadráticas en forma estándar

Ejemplo 1: convertir la ecuación cuadrática dada 2x – 9 = 7x ² en forma estándar.

Solución:

Dada la ecuación cuadrática,

2x – 9 = 7x²

La forma estándar de ecuación cuadrática es ax.²+ bx + c = 0

⇒ 2x = 7x²+ 9

⇒ 7x²– 2x + 9 = 0

Entonces la forma estándar de la ecuación dada es 7x ² – 2x + 9 = 0.

Ejemplo 2: convertir la ecuación cuadrática dada (2x/7)-1 = 2x ² en forma estándar.

Solución:

Dada la ecuación,

(2x/7) – 1 = 2x²

⇒ (2x-7(1))/7 = 2x²

⇒ (2x-7)/7 = 2x²

⇒ 2x – 7 = 7(2x²)

⇒ 2x – 7 = 14x²

⇒ 14x²– 2x + 7 = 0

Entonces la forma estándar de la ecuación dada es 14x ² – 2x + 7 = 0

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Ejemplo 3: convertir la ecuación dada (2x ³ /x) + 4 = 2x en forma estándar.

Solución:

Dada la ecuación,

(2x³/x) + 4 = 2x

Uno de los x en x³se cancela por la x en el denominador para formar x²

⇒ 2x²+ 4 = 2x

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⇒ 2x²– 2x + 4 = 0

La ecuación anterior se simplifica aún más para dar x²– x + 2 = 0

Entonces la forma estándar de la ecuación dada es x ² – x + 2 = 0

Ejemplo 4: convierta la ecuación cuadrática dada a la forma estándar (3/x) – 2x = 5.

Solución:

Ecuación dada: (3/x) – 2x = 5

⇒ (3-2x(x))/x = 5

⇒ (3-2x²)/x = 5

⇒ 3-2x²= 5x

⇒ 2x²+ 5x – 3 = 0

Entonces la forma estándar de una ecuación cuadrática dada es 2x ² + 5x – 3 = 0.

Preguntas de práctica sobre la forma estándar de ecuación cuadrática

P1. Convierta la siguiente ecuación cuadrática de forma estándar a vértice: x ² – 4x + 1 = 0.

P2. Convierta la siguiente ecuación cuadrática de la forma estándar a la forma de intersección: 2x ² + 9x + 24 = 0.

P3. Convierta la siguiente ecuación cuadrática de forma estándar a vértice: -4x ² – 12x + 16 = 0.

P4. Convierta la siguiente ecuación cuadrática de la forma estándar a la intersección: 11x ² + 8x + * = 0.

Forma estándar de ecuación cuadrática: preguntas frecuentes

¿Qué es la fórmula de forma estándar?

La fórmula de forma estándar es una forma común de representar cualquier notación o ecuación, ya que un gran grupo de personas acepta la forma estándar como estándar.

¿Qué es la fórmula en forma estándar para ecuaciones lineales?

La forma estándar de una ecuación lineal con dos variables xey se da de la siguiente manera:

hacha + por = c

Dónde a, b, y C son números enteros.

¿Cuál es la forma estándar de la ecuación cuadrática?

La forma estándar de ecuación cuadrática se da de la siguiente manera:

hacha ² + bx + c = 0

Dónde,

• a, b, y C son números enteros y
• un ≠ 0 .

¿Qué es la fórmula en forma estándar para polinomios?

La fórmula en forma estándar para un polinomio de n grados es:

a ₁ X ^norte + un ₂ X ^n-1 + un ₃ X ^n-2 +. . . + un _norte x + c = 0

Dónde,

• a ₁ , a ₂ , a ₃ , … a _norte son coeficientes
• norte es el grado de la ecuación
• X es una variable dependiente
• C es el término numérico constante

¿Cuáles son ejemplos de ecuaciones cuadráticas en forma estándar?

Varios ejemplos de ecuaciones cuadráticas en forma estándar son:

• 3x²– 4x + 2 = 0
• X²– 11x + (11/2) = 0
• -X²+ 11 = 0, etc.

¿Cómo se escribe una ecuación cuadrática en forma estándar?

Una ecuación cuadrática en forma estándar se escribe como, ax²+ bx + c = 0.

¿Cuál es la forma estándar de una ecuación cuadrática con ejemplos?

La forma estándar de la ecuación cuadrática es ax2 + bx + c = 0. Y algunos de los ejemplos de ecuaciones cuadráticas son,

• 2x²+ 5x – 11 = 0
• 3x²+ 11x – 6 = 0, etc.