Una función recursiva es una función cuyo valor en cualquier punto se puede calcular a partir de los valores de la función en algunos puntos anteriores. Por ejemplo, supongamos una función f(k) = f(k-2) + f(k-3) que se define sobre un entero no negativo. Si tenemos el valor de la función en k = 0 y k = 2, también podemos encontrar su valor en cualquier otro número entero no negativo. En otras palabras, podemos decir que una función recursiva se refiere a una función que utiliza sus propios puntos anteriores para determinar los términos posteriores y, por lo tanto, forma una secuencia de términos. En este artículo, aprenderemos sobre funciones recursivas junto con ciertos ejemplos.
¿Qué es la recursividad?
La recursividad se refiere a un proceso en el que un proceso recursivo se repite. Recursiva es un tipo de función de una o más variables, generalmente especificada por un cierto proceso que produce valores de esa función implementando continuamente una relación particular con los valores conocidos de la función.
Aquí entenderemos la recursividad con la ayuda de un ejemplo.
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Supongamos que vas a tomar una escalera para llegar al primer piso desde la planta baja. Entonces, para hacer esto, debes seguir los pasos uno por uno. Sólo hay una manera de llegar al segundo paso, que es el primer paso empapado. Supongamos que quieres ir al tercer paso; primero debes dar el segundo paso. Aquí puedes ver claramente el proceso de repetición. Aquí puedes ver que con cada paso siguiente, estás agregando el paso anterior como una secuencia repetida con la misma diferencia entre cada paso. Este es el concepto real detrás de la función recursiva.
Paso 2: Paso 1 + paso más bajo.
Paso 3: Paso 2 + Paso 1 + paso más bajo.
Etapa 4: Paso 3 + paso 2 + paso 1+ paso más bajo, y así sucesivamente.
Un conjunto de números naturales es el ejemplo básico de las funciones recursivas que comienzan desde uno hasta el infinito, 1,2,3,4,5,6,7,8, 9,…….infinitivo. Por lo tanto, el conjunto de números naturales muestra una función recursiva porque se puede ver una diferencia común entre cada término como 1; se muestra cada vez que el siguiente término se repite por el término anterior.
¿Qué es una función definida recursivamente?
Las funciones definidas recursivamente constan de dos partes. La primera parte trata de la definición del argumento más pequeño y, por otro lado, la segunda parte trata de la definición del enésimo término. El argumento más pequeño se denota por f (0) o f (1), mientras que el enésimo argumento se denota por f (n).
Siga el ejemplo dado.
Supongamos que una secuencia es 4,6,8,10
La fórmula explícita para la secuencia anterior es f (n) = 2n + 2
La fórmula explícita para la secuencia anterior está dada por
f (0) = 2
f(n) = f (n-1) + 2
Ahora, podemos obtener los términos de la secuencia aplicando la fórmula recursiva de la siguiente manera f(2 ) f (1) + 2
f(2) = 6
f (0) = 2
f(1) = f(0) + 2
f (1) = 2 + 2 = 4
f(2) = f(1) + 2
f(2) = 4 + 2 = 6
f(3) = f(2) + 2
f(3) = 6 + 2 = 8
Con la ayuda de la fórmula de función recursiva anterior, podemos determinar el siguiente término.
¿Qué hace que la función sea recursiva?
Hacer que cualquier función sea recursiva necesita su propio término para calcular el siguiente término de la secuencia. Por ejemplo, si desea calcular el enésimo término de la secuencia dada, primero necesita conocer el término anterior y el término anterior al término anterior. Por lo tanto, necesitas conocer el término anterior para saber si la secuencia es recursiva o no recursiva. Entonces podemos concluir que si la función necesita el término anterior para determinar el siguiente término en la secuencia, la función se considera una función recursiva.
La fórmula de la función recursiva.
si un1, a2, a3, a4, a5, a6, ……..anorte,…… es muchos conjuntos o una secuencia, entonces una fórmula recursiva necesitará calcular todos los términos que existían previamente para calcular el valor de un
anorte= unn-1 +a1
La fórmula anterior también se puede definir como fórmula recursiva de secuencia aritmética. Puedes ver claramente en la secuencia mencionada anteriormente que es una secuencia aritmética, que comprende el primer término seguido de los demás términos y una diferencia común entre cada término. La diferencia común se refiere a un número que les sumas o les restas.
Una función recursiva también se puede definir como la secuencia geométrica, donde los conjuntos de números o una secuencia tienen un factor común o una razón común entre ellos. La fórmula para la secuencia geométrica se da como
anorte= unn-1 *r
Normalmente, la función recursiva se define en dos partes. El primero es el enunciado del primer término junto con la fórmula, y otro es el enunciado del primer término junto con la regla relacionada con los términos sucesivos.
Cómo escribir una fórmula recursiva para una secuencia aritmética
Para escribir la fórmula recursiva para la fórmula de secuencia aritmética, siga los pasos indicados
Paso 1:
En el primer paso, debes asegurarte de si la secuencia dada es aritmética o no (para esto, debes sumar o restar dos términos sucesivos). Si obtiene el mismo resultado, entonces la secuencia se toma como una secuencia aritmética.
Paso 2:
Ahora necesitas encontrar la diferencia común para la secuencia dada.
Paso 3:
Formule la fórmula recursiva usando el primer término y luego cree la fórmula usando el término anterior y la diferencia común; así obtendrás el resultado dado
anorte= unn-1 +d
Ahora entendemos la fórmula dada con la ayuda de un ejemplo.
supongamos que 3,5,7,9,11 es una secuencia dada
En el ejemplo anterior, puedes encontrar fácilmente que es la secuencia aritmética porque cada término de la secuencia aumenta en 2. Entonces, la diferencia común entre dos términos es 2. Conocemos la fórmula de la secuencia recursiva
anorte= unn-1 +d
Dado,
re = 2
a1= 3
entonces,
a2= un(2-1)+ 2 = un1+ 2 = 3+2 = 5
a3= un(3-1)+ 2 = un2+ 2 = 5+2 = 7
a4= un(4-1)+ 2 = un3+ 2 = 7+2 = 9
a5= un(5-1)+ 2 = a + 2 = 9+2 = 11, y el proceso continúa.
¿Cómo escribir una fórmula recursiva para una secuencia geométrica?
Para escribir la fórmula recursiva para la fórmula de secuencia geométrica, siga los pasos indicados:
Paso 1
En el primer paso, debes asegurarte de si la secuencia dada es geométrica o no (para esto, debes multiplicar o dividir cada término por un número). Si obtiene el mismo resultado de un término al siguiente, la secuencia se toma como una secuencia geométrica.
Paso 2
Ahora, necesitas encontrar la razón común para la secuencia dada.
Paso 3
Formule la fórmula recursiva usando el primer término y luego cree la fórmula usando el término anterior y la razón común; así obtendrás el resultado dado
anorte=r*an-1
Ahora, entendemos la fórmula dada con la ayuda de un ejemplo.
supongamos que 2,8,32, 128, es una secuencia dada
En el ejemplo anterior, puedes encontrar fácilmente que es la secuencia geométrica porque el término sucesivo en la secuencia se obtiene multiplicando 4 por el término anterior. Entonces, la razón común entre dos términos es 4. Conocemos la fórmula de la secuencia recursiva
anorte=r*an-1
anorte= 4
an-1= ?
Dado,
r = 4
a1= 2
recorrido de preorden
entonces,
a2= un(2-1)* 4 = un1+ * 4 = 2* 4 = 8
a3= un(3-1)* 4 = un2* 4 = 8 * 4 = 32
a4= un(4-1)* 4 = un3* 4 = 32* 4 = 128, y el proceso continúa.
Ejemplo de función recursiva
Ejemplo 1:
¿Determinar la fórmula recursiva para la secuencia 4,8,16,32,64, 128,….?
Solución:
Dada la secuencia 4,8,16,32,64,128,…..
La secuencia dada es geométrica porque si multiplicamos el término anterior, obtenemos los términos sucesivos.
Para determinar la fórmula recursiva para la secuencia dada, debemos escribirla en forma tabular.
| Números de plazo | Término de secuencia | Notación de funciones | Notación de subíndice |
|---|---|---|---|
| 1 | 4 | f(1) | a1 |
| 2 | 8 | f(2) | a2 |
| 3 | 16 | f(3) | a3 |
| 4 | 32 | f(4) | a4 |
| 5 | 64 | f(5) | a5 |
| 6 | 128 | f(6) | a6 |
| norte | . | f(n) | anorte |
Por lo tanto, la fórmula recursiva en la noción de función viene dada por
f(1) = 4, f(n) . f(n-1)
En notación de subíndice, la fórmula recursiva viene dada por
a1= 4, unnorte= 2. unn-1