Funciones en matemáticas se pueden considerar como máquinas expendedoras. Dado el dinero en forma de insumo, les dan a cambio algunas latas o galletas. De manera similar, las funciones toman algunos números de entrada y nos dan algunos resultados. Se puede decir que, en la vida real, todo se puede formular y resolver con la ayuda de funciones. Desde el diseño de edificios y la arquitectura hasta los mega rascacielos, el modelo matemático de casi todo en la vida real requiere funciones. Por lo tanto, no se puede evitar que las funciones tengan una importancia gigantesca en nuestras vidas. El dominio y el rango son un aspecto a través del cual se puede describir una función.
Por ejemplo: Supongamos que está escrito en la parte superior de la máquina que sólo se pueden usar billetes de 20 y 50 rupias para comprar algo. ¿Qué pasa si alguien usa billetes de 10 rupias? La máquina no dará ningún resultado. Entonces, el dominio representa qué tipo de entradas podemos tener en una función. En este caso, los billetes de 20 y 50 rupias son dominio de la máquina expendedora. Del mismo modo, no importa cuánto dinero uno ponga en la máquina, nunca obtendrá sándwiches. Entonces, aquí entra en juego el concepto de rango, rango son los posibles resultados que la máquina puede dar.
Rango y dominio de una función
Dominio de una función:
Un dominio son todos los valores que pueden entrar en una función para la cual proporciona una salida válida. Es el conjunto de todas las entradas posibles a una función.
Por ejemplo: En la siguiente figura, f(x) = x2. El conjunto de todas las entradas se denomina Dominio y el conjunto de todas las salidas se considera rango.
¿Cómo encontrar el dominio de una función?
El dominio de la función debe contener todos los números reales excepto los puntos donde el denominador se vuelve cero y los términos bajo raíces cuadradas se vuelven negativos. Para encontrar el dominio, intente encontrar los puntos o valores de entrada sobre los cuales la función no está definida.
Pregunta 1: Encuentra el dominio de
Respuesta:
Esta función puede dar una salida indefinida cuando x = 1. Entonces, entonces el dominio es R – {1} .
Pregunta 2: Encuentre el dominio de la siguiente función:
Respuesta :
Es importante no hacer que la función sea Infinita o Indefinida, por lo tanto, necesitamos ver qué valores de Dominio pueden hacer que la Función sea Indefinida o Infinita.
Al observar el denominador, está claro que los valores 3 y 5 hacen que el denominador sea 0 y, por lo tanto, la función es infinita, lo cual no es deseable.
Por lo tanto, los valores x=3 y x=5 no se pueden colocar aquí.
El Dominio será R-{3,5}.
Pregunta 3: Encuentre los valores de dominio para los cuales las funciones Y = (2x 2 -1) y Z= (1-3x) son iguales.
Respuesta :
Igualando las dos funciones:
2x2– 1 = 1 – 3x
2x2+ 3x – 2 = 0
2x2+ 4x – x – 2 = 0
2x (x+2) – 1 (x+2)= 0
(2x – 1) (x + 2) = 0
x = 1/2, -2.
Por lo tanto, los valores del Dominio son {1/2, -2}.
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Rango de una función
El rango de una función es un conjunto de todas sus posibles salidas.
Ejemplo: Consideremos una función ƒ: A⇢A, donde A = {1,2,3,4}.
Los elementos del dominio del conjunto se denominan preimágenes, y los elementos del codominio del conjunto que se asignan a las preimágenes se denominan imágenes. El rango de una función es un conjunto de todas las imágenes de elementos en el dominio. En este ejemplo, el rango de la función es {2,3}.
¿Cómo encontrar el rango de una función?
El rango es la extensión de los valores de la salida de una función. Si somos capaces de calcular los valores máximo y mínimo de la función, podremos hacernos una idea del rango de la función.
Pregunta 1: Encuentra el rango. f(x) =
Respuesta:
Ahora bien, dado que la función es una raíz cuadrada, nunca puede dar valores negativos como resultado. Entonces, el valor mínimo solo puede ser 0 en x = 1. El valor máximo puede llegar hasta el infinito a medida que seguimos aumentando x.
Entonces, el rango de la función es [0,∞).
Pregunta 2: El dominio de la función ƒ definida por f(x) =
Respuesta:
Dado, f(x) =
frac{1}{sqrtx – } .Hay que garantizar dos cosas al seleccionar el conjunto de dominio,
- El denominador nunca llega a cero.
- El término que está dentro de la raíz cuadrada no se vuelve negativo.
Ampliemos lo que está escrito dentro del término dentro de la raíz cuadrada.
sqrtx= egin{cases} x – x = 0,& ext{if } xgeq 0 2x, & ext{otherwise} end{cases} En este caso, no podemos poner ninguno de los valores, x ≥ 0 o x <0.
Por tanto, f no está definida para ningún x ∈ R. Entonces, el dominio es un conjunto vacío.
Dominio y rango de funciones cuadráticas
Las funciones cuadráticas son funciones de la forma f(x) = ax2+ bx + c, donde a, b y c son constantes y a ≠ 0. La gráfica de una función cuadrática tiene forma de parábola. Básicamente es una forma curva que se abre hacia arriba o hacia abajo.
Veamos cómo graficar funciones cuadráticas,
Entonces, en nuestra función cuadrática
- si a> 0, la parábola se abre hacia arriba.
- si a <0, la parábola se abre hacia abajo.
Ahora bien, el vértice es el punto más alto o más bajo de nuestra curva dependiendo de la gráfica de la función cuadrática. Encontrar el vértice de la gráfica de una expresión cuadrática general.
En la forma cuadrática estándar, el vértice viene dado por
Nota: Cada curva es simétrica alrededor de su eje vertical.
Veamos algunos ejemplos,
Pregunta: Traza la gráfica de f(x) = 2x 2 + 4x + 2.
Respuesta:
Comparando esta ecuación con la ecuación general de la función cuadrática. a = 2, b = -4 y c = 2.
Como a> 0, esta parábola se abrirá hacia arriba.
- Valor x del vértice =
frac{-b}{2a} = frac{-4}{4} = -1 - Valor y del vértice = 2(-1)2+ 4(-1) + 2 = 0
Entonces, el vértice está en (-1,0). Como la parábola se abre hacia arriba, este debe ser el valor mínimo de la función.
El punto donde la gráfica corta el eje y es (0,2).
El rango y el dominio de funciones cuadráticas se pueden encontrar fácilmente trazando la gráfica. No siempre es necesario trazar el gráfico completo; para el alcance, solo se debe conocer la dirección de la parábola (hacia arriba o hacia abajo) y el valor de la parábola en el vértice. El valor en el vértice siempre es mínimo/máximo dependiendo de la dirección de la parábola. El dominio de tales funciones son siempre los números reales enteros porque están definidos en todas partes, es decir; no hay ningún valor de entrada que pueda hacer que den un valor indefinido como salida.
Veamos otro ejemplo sobre el dominio y alcance de la parábola.
Pregunta: Traza la gráfica y encuentra el dominio y el rango de la función dada, f(x) = -x 2 + 4.
Respuesta:
Dado que a = -1. La parábola se abrirá hacia abajo, es decir; no habrá valor mínimo, se extenderá hasta el infinito. Pero habrá un valor máximo que ocurrirá en el vértice.
Para encontrar la posición del vértice se puede utilizar la fórmula anterior. El vértice está en la posición (0,4).
El valor en el vértice (0,4) = (0)2+ 4 = 4.
Entonces, el valor máximo es 4 y el valor mínimo es negativo del infinito.
hiba bukhariRango de la función – (-∞, 4] y el dominio es R .
