Lineas perpendiculares en Matemáticas son pares de líneas que siempre se cruzan entre sí en ángulos rectos, es decir, las líneas perpendiculares siempre se cruzan con líneas que se cruzan en 90°. Las líneas perpendiculares son fácilmente visibles para nosotros, las esquinas de las paredes, las esquinas del escritorio y otras representan la línea paralela. Para líneas perpendiculares, decimos que se cortan entre sí en ángulos rectos. La distancia más corta entre dos líneas se obtiene utilizando la distancia perpendicular entre ellas, es decir, la línea perpendicular entre dos puntos da la distancia más corta entre ellos.

En este artículo, aprenderemos en detalle sobre las líneas perpendiculares, sus propiedades y otras.

Tabla de contenidos

• ¿Qué son las rectas perpendiculares?
• Propiedades de las rectas perpendiculares
• Pendiente de rectas perpendiculares
• Fórmula de líneas perpendiculares
• ¿Cómo dibujar líneas perpendiculares?
• Ecuación de la recta perpendicular

¿Qué es perpendicular?

Perpendicular se define como una recta que forma una ángulo recto con otra línea. En otras palabras, línea perpendicular son las líneas que forman un ángulo de 90 grados. La distancia más corta entre el punto y la recta es la recta perpendicular entre ellos. Una perpendicular forma 90 grados con la otra línea. Las líneas AB y PQ, como se muestran en la imagen a continuación, son perpendiculares entre sí porque se cruzan en 90 grados.

La línea AB y CD agregadas en la imagen de abajo muestra dos líneas perpendiculares.

¿Qué son las rectas perpendiculares?

Líneas Perpendiculares son las líneas que se cortan entre sí en un ángulo igual a 90 grados, es decir, si dos líneas se cruzan en ángulo recto se llaman líneas perpendiculares. Tome la figura agregada a continuación aquí, la línea l y la línea m se cruzan en el punto O y el ángulo que forman es de 90 grados.

Así, podemos decir que l es una recta perpendicular a la recta m o que la recta m es perpendicular a la recta l. Representamos esta condición como l ⊥ m. Ahora cualquier recta paralela a la recta l es perpendicular a la recta m. La distancia más corta entre el punto y la recta es siempre la distancia perpendicular entre ellos.

Nota: No todas las líneas que se cruzan son líneas perpendiculares, pero todas las líneas perpendiculares son líneas que se cruzan.

Signo perpendicular

Las líneas perpendiculares se representan mediante el símbolo '⊥'. Si las líneas l y m son perpendiculares entre sí, es decir, se cortan a 90 grados, entonces se llaman líneas perpendiculares y se representan como l ⊥ m. El punto de intersección se llama pie de la perpendicular.

Formas perpendiculares

Se pueden ver formas prependiculares a nuestro alrededor en nuestra vida diaria. Se consideran formas perpendiculares aquellas en las que al menos un ángulo es de 90°. Varias formas que tienen líneas perpendiculares (formas perpendiculares) son,

• Cuadrado
• Rectángulo
• Triángulo rectángulo

Propiedades de las rectas perpendiculares

Cualesquiera dos líneas que se cruzan en un ángulo de 90 grados se llaman líneas perpendiculares. Las líneas perpendiculares tienen propiedades diferentes a las líneas que se cruzan y las propiedades generales de las líneas que se cruzan son,

• Las rectas perpendiculares son las rectas que siempre se cortan entre sí en ángulo recto.
• Si dos rectas son perpendiculares a la misma recta, entonces estas dos rectas siempre son paralelas entre sí.

Pendiente de rectas perpendiculares

La pendiente de cualquier recta es la tangente del ángulo formado por la recta con el eje x positivo y la pendiente en el caso de las rectas perpendiculares tiene una relación particular entre ellas.

Supongamos que tenemos dos rectas PQ y RS que son perpendiculares entre sí. Ahora, la pendiente de la línea PQ es, digamos, m₁y la pendiente de la línea RS es digamos m₂, entonces el producto de las pendientes es igual a -1. La declaración de lo mismo es,

Declaración: Dos rectas son perpendiculares entre sí si y sólo si el producto de su pendiente es -1.

Esto se puede representar como,

metro ₁ .metro ₂ = -1

Fórmula de líneas perpendiculares

Las dos fórmulas básicas de líneas perpendiculares se analizan a continuación,

Declaración 1: El producto de la Pendiente de una recta Perpendicular con la Pendiente de la recta Original siempre es -1 .

Prueba:

Dejemos que la línea original forme un ángulo de θ con el eje X.

Entonces, la línea perpendicular a la línea formará un ángulo de θ + 90° o θ – 90° con el eje X.

Ahora, la pendiente de la recta original es igual a tan θ

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La pendiente de la línea perpendicular es igual a tan (θ + 90^oh) o bronceado (θ – 90^oh)

tan (θ + 90 ^oh ) = tan (θ – 90 ^oh ) = -cuna yo

Por tanto, la pendiente de la recta perpendicular es -cot θ

Ahora,

Producto de pendientes = tan θ × (-cot θ) = -1

Por lo tanto probado

Declaración 2: Si la ecuación de una recta es hacha + por + c = 0

Entonces la ecuación de una recta perpendicular a la recta dada es,

– bx + ay + d = 0

dónde, C y d ¿Hay valores constantes?

Prueba:

La ecuación de la recta es ax + by + c = 0

La pendiente de la recta es -a/b

Sea la pendiente de la recta perpendicular m

Sabemos que el producto de la pendiente de dos rectas perpendiculares es -1

metro × (-a / b) = – 1

metro = b / a

Ahora bien, si la recta perpendicular pasa por un punto (x₁, y₁), entonces la ecuación de la recta perpendicular es,

(y – y₁) / (x-x₁) = b/a

y – y₁= (b / a) × (x – x₁)

es – es₁= bx – bx₁

– bx + es + (bx₁- es₁) = 0 {sea bx₁- es₁= re}

Por lo tanto, la ecuación requerida de la línea es,

– bx + ay + d = 0

¿Cómo dibujar líneas perpendiculares?

Podemos construir fácilmente el par de líneas perpendiculares, usando el transportador y la brújula.

Dibujar líneas perpendiculares usando transportador

Para dibujar un par de líneas perpendiculares, siga los pasos que se describen a continuación,

Paso 1: Primero dibuja una línea horizontal AB en el papel usando una regla.

Paso 2: Marca cualquier punto P en la recta AB desde el que tenemos que trazar la recta perpendicular.

Paso 3: Coloque el protector en la línea y haga coincidir el punto medio del protector con el punto P de la línea.

Etapa 4: Marque el ángulo de 90 grados usando el protector.

Paso 5: Une la línea usando cualquier regla con un ángulo de 90 grados, para obtener un par de líneas perpendiculares.

Dibujar una línea perpendicular con la brújula

Los siguientes son los pasos para hacer líneas perpendiculares usando una brújula.

Paso 1: Dibuja una línea en el papel usando una regla.

Paso 2: Toma un punto de la línea y coloca la aguja de la brújula sobre él.

Paso 3: Dibuja un arco (un semicírculo) en un lado de la línea.

Etapa 4: Sin cambiar el radio del compás ahora coloca la aguja en un extremo del diámetro del semicírculo.

Paso 5: Triseccione el arco semicircular cortándolo dos veces. El primer corte marca 60° y el segundo corte marca 120°.

Paso 6: Hay una diferencia de 60° entre el primer y el segundo corte. Divide este espacio en dos con el compás sin cambiar su radio.

Paso 7: Ahora une el punto de bisección de 60 y 120 con el punto que se supone inicialmente para dibujar el arco semicircular.

Paso 8: La línea así trazada es perpendicular a la línea inicial.

Ejemplos de rectas perpendiculares

Las rectas perpendiculares son aquellas que siempre se encuentran a 90 grados. Vemos varios ejemplos de líneas paralelas en la vida real, algunos de ellos son,

• Las esquinas de las habitaciones son perpendiculares entre sí.
• Las manecillas del reloj representan líneas perpendiculares a las 3 ′ en punto.
• Las esquinas de la mesa y el escritorio representan las líneas perpendiculares.

Rectas perpendiculares y paralelas

Las rectas perpendiculares son las rectas que forman un ángulo de 90° entre sí, mientras que las rectas paralelas son las rectas que son paralelas entre sí, es decir, son equidistantes entre sí y nunca se cruzan entre sí.

Nota: Las líneas paralelas se encuentran en el infinito .

Pendiente de rectas paralelas y perpendiculares

Las pendientes de las rectas paralelas son iguales mientras que el producto de las pendientes de las rectas perpendiculares es -1.

Ecuaciones de rectas paralelas y perpendiculares

Si dos rectas son paralelas entonces su ecuación de rectas es,

• ax + by + c = 0 y ax + by + d = 0

Mientras que la ecuación de dos perpendiculares es,

• ax + by + c = 0, y -bx + ax + d = 0

¿Qué son las rectas paralelas?

Las líneas paralelas en Geometría se definen como las líneas que no se encuentran en el plano 2-D, es decir, nunca se cruzan entre sí en el plano 2-D. La distancia entre las dos rectas paralelas es siempre constante. La imagen agregada a continuación muestra dos pares de líneas paralelas.

Las líneas a, b, x e y son paralelas entre sí.

Diferencia entre rectas paralelas y rectas perpendiculares

Rectas paralelas versus rectas perpendiculares se analizan en la siguiente tabla.

Ecuación de la recta perpendicular

El estandar ecuación de una recta es hacha + por + c = 0 y la línea perpendicular a la línea dada se da usando,

-bx + ay + d = 0

dónde, d es el valor constante y su valor se encuentra utilizando la otra condición dada.

Pendiente de línea perpendicular

Supongamos que nos dan una recta cuya ecuación es de la forma y = mx + c y su pendiente es m, entonces la pendiente de la recta perpendicular a la recta dada es,

Pendiente de la línea perpendicular = -1/m

Ahora bien, si la pendiente de dos rectas es m₁y M₂entonces la relación entre estas dos pendientes es, metro ₁ metro ₂ = -1

Leer más,

• Lineas paralelas
• Líneas transversales
• Propiedades de las rectas paralelas

Ejemplos de rectas perpendiculares

Ejemplo 1: ¿Son perpendiculares las rectas 3x + 2y + 5 = 0 y 2x – 3y + 8 = 0?

Solución:

La pendiente de la recta ax + by + c = 0 es -a/b

• La pendiente de la recta 3x + 2y + 5 = 0 es m₁= – 3 / 2.
• La pendiente de la recta 2x – 3y + 8 = 0 es m₂= -2 / (-3) = 2 / 3

Sabemos que las rectas son perpendiculares si sus pendientes cumplen la condición.

metro₁× metro₂= -1

Ahora de la condición anterior,

= (- 3 / 2) × (2 / 3)

= -1

El producto de las pendientes es -1 y por tanto las rectas son perpendiculares.

Ejemplo 2: Encuentra la recta perpendicular a la recta x + 2y + 5 = 0 y pasa por el punto (2, 5).

Solución:

Sabemos que la ecuación de una recta perpendicular a la recta ax + by + c = 0 es – bx + ay + d = 0.

La ecuación dada de la recta es x + 2y + 5 = 0

Comparando la recta x + 2y + 5 = 0 con ax + by + c = 0 obtenemos,

• un = 1
• segundo = 2
• c = 5

Por tanto, la ecuación de cualquier recta perpendicular a esta recta es – 2x + y + d = 0…(yo)

Dado, esta línea pasa por (2, 5),

Poniendo así (2, 5) en esta ecuación de la recta perpendicular

-2 × 2 + 5 + d = 0

⇒ d = -1

Sustituyendo el valor de d en la ecuación (i), obtenemos

-2x + y + (-1) = 0

Por tanto, la ecuación de la recta perpendicular es -2x + y – 1 = 0

Ejemplo 3: Encuentra la pendiente de la recta perpendicular a la recta 3x + 9y + 7 = 0.

Solución:

Dado,

La ecuación de la recta es 3x + 9y + 7 = 0

Pendiente de esta recta = -a/b = – 3 / 9 = – 1 / 3

Sea la pendiente de la línea perpendicular a la línea anterior m

Ahora usando la fórmula de la línea perpendicular

metro × (- 1 / 3) = – 1

⇒ metro = 3

Por tanto, la pendiente de la recta perpendicular a la recta dada es 3.

Ejemplo 4: Encuentra el ángulo de una recta perpendicular a la recta x + y + 3 = 0.

Solución:

Línea dada,

x + y + 3 = 0

Pendiente de la recta dada = -a/b = – 1 / 1 = – 1

Supongamos que la pendiente de la línea perpendicular a la línea anterior es m

De la fórmula de la línea perpendicular,

metro × -1 = – 1

⇒ metro = 1

El ángulo de la línea perpendicular a la línea dada es θ, entonces

m = tan θ

⇒ tan θ = 1

⇒ θ = tan^-1(1) = 45°

Por lo tanto, el ángulo formado por la línea perpendicular con el eje X es 45°.

Problemas de práctica perpendiculares

P1. Encuentra el ángulo de una línea perpendicular a la línea 3x + 9y – 11 = 0.

P2. Si una recta pasa por los puntos (11, –4) y (–1, 8) y otra recta pasa por los puntos (8, 3) y (–1, -3). Comprueba si estas líneas son paralelas o perpendiculares.

P3. Encuentra la ecuación de la recta que es perpendicular a 5x − 7y = 5 y pasa por el punto (-1, 8).

P4. Encuentre la ecuación de la recta que pasa por (2, 3) y es perpendicular al eje x.

Líneas perpendiculares – Preguntas frecuentes

¿Qué son las rectas perpendiculares?

Si dos líneas que se cruzan se cruzan en ángulo recto, es decir, a 90 grados, entonces estas dos líneas se llaman líneas perpendiculares.

¿Qué son las rectas paralelas y perpendiculares?

Las líneas paralelas son las líneas que no se encuentran en el plano 2-D. La distancia entre dos rectas paralelas es siempre constante. Mientras que si dos líneas se cortan a 90 grados, estas líneas se llaman líneas perpendiculares.

¿Las líneas que se cruzan son siempre perpendiculares?

No, no todas las líneas que se cruzan son siempre perpendiculares, pueden serlo o no. Las líneas que se cruzan pueden encontrarse en diferentes ángulos.

¿Cuál es la condición para la pendiente de las rectas perpendiculares?

Supongamos que la pendiente de dos rectas es m₁y M₂entonces la condición de las pendientes de dos rectas perpendiculares es, metro ₁ .metro ₂ = -1

¿Cuántas rectas perpendiculares se pueden trazar en una recta?

Podemos dibujar cualquier número de líneas perpendiculares a una línea, es decir, podemos tener infinitas líneas perpendiculares a cualquier línea.

¿Cuándo son dos rectas perpendiculares?

Dos rectas son perpendiculares si se cortan en 90°, es decir, las rectas perpendiculares siempre se cortan en ángulo recto.

¿Qué es un triángulo perpendicular?

Un triángulo que tiene un ángulo igual a 90° se llama triángulo perpendicular. También se le llama Triángulo Rectángulo.

¿Cuáles son algunas formas perpendiculares?

Algunas formas que se llaman formas pependiculares son aquellas que tienen al menos una perpendicular. Varios ejemplos de formas perpendiculares son: cuadrado, rectángulo y triángulo rectángulo.

¿Qué son los ángulos perpendiculares?

Los ángulos que miden 90° se llaman ángulos perpendiculares. El otro nombre de los ángulos perpendiculares es Ángulos Rectos.

¿Qué es el símbolo perpendicular?

El símbolo o signo que representa la perpendicular es, ⟂. Usamos este símbolo para mostrar si dos líneas son perpendiculares. Por ejemplo, si se escribe A⟂B, donde A y B son dos líneas, entonces la línea A es perpendicular a la línea B y viceversa.

¿Cómo se identifica qué rectas son perpendiculares?

Si el ángulo entre dos rectas es de 90°. Entonces podemos decir que estas dos rectas son perpendiculares. Si la pendiente de las dos rectas se da como, m₁, metro₂luego usamos la fórmula de la línea perpendicular para encontrar si son perpendiculares o no. La fórmula de la línea perpendicular es, m₁.metro₂= -1

¿Cómo encontrar la pendiente de las rectas perpendiculares?

La pendiente de las líneas perpendiculares se puede calcular fácilmente utilizando la fórmula de pendiente. Supongamos que nos dan una línea, primero la convertimos a la forma estándar y luego usamos la fórmula de la pendiente para encontrar la pendiente. La fórmula de la pendiente es m = -b/a, donde a es el coeficiente de x y b es el coeficiente de y.