La fórmula del punto medio es ((X ₁ +x ₂ )/2, (y ₁ + y ₂ )/2). Las coordenadas de los dos puntos son (x₁, y₁) y (x₂, y₂) respectivamente, y el punto medio es un punto que se encuentra a medio camino entre estos dos puntos.

Mid Point es un concepto fundamental en geometría de coordenadas. Desempeña un papel crucial en encontrar el punto medio de un segmento de línea. Hay casos en geometría de coordenadas en los que necesitamos conocer el punto medio de dos puntos dados o el punto medio de un segmento de línea. En este caso, utilizamos la fórmula del punto medio, ya que es una forma sencilla y eficaz de calcular el punto medio de cualquier segmento de línea determinado, independientemente de su longitud o posición en el plano de coordenadas.

Hemos cubierto en detalle la fórmula del punto medio, con su derivación utilizando la similitud de triángulos. Junto con esto, hemos seleccionado los ejemplos resueltos en Mid Point Formula.

Definición del punto medio

El punto que divide la recta exactamente en dos mitades iguales es el punto medio de la recta. En otras palabras, la proporción de ambas mitades de la línea en la que la divide el punto medio es 1:1.

Punto medio de la línea

Fórmula del punto medio de la línea

Para un segmento de línea AB en coordenadas cartesianas donde la coordenada del eje x del punto A es x₁y la coordenada del eje y del punto A es y₁y de manera similar, la coordenada del eje x del punto B es x₂y la coordenada del eje y del punto B es y_2,el punto medio de la recta estará dado por (x_metro, y_metro).

La fórmula para el punto medio (x_metro, y_metro) es:

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Fórmula del punto medio

Derivación de la fórmula del punto medio

Sea P(x₁,y₁) y Q(x₂,y₂) ser los dos extremos de una recta dada en un plano coordenado, y R(x,y) ser el punto de esa recta que divide a PQ en la relación m₁:metro₂tal que

PR/RQ = m₁/metro₂. . .(1)

Derivación de la fórmula del punto medio

Trazando las líneas PM, QN y RL perpendiculares al eje x y pasando por R, dibuje una línea recta paralela al eje x para encontrar MP en S y NQ en T.

Por lo tanto, de la figura, podemos decir:

SR = ML = OL – OM = x – x₁. . . (2)

RT = LN = ON – Ol = x₂- X . . . (3)

PS = MS – MP = LR – MP = y – y₁. . . (4)

TQ = NQ – NT = NQ – LR = y₂– y . . . (5)

Ahora triángulo ∆ ESP es similar al triangulo ∆TQR .

Por lo tanto,

SR/RT = PR/RQ

Usando las ecuaciones 2, 3 y 1, sabemos:

x-x₁/ X₂– x = metro₁/ metro₂

⇒ metro₂x-m₂X₁= metro₁X₂– metro₁X

⇒ metro₁x+m₂x = metro₁X₂+m₂X₁

⇒ (metro₁+m₂)x = metro₁X₂+m₂X₁

⇒ x = (metro₁X₂+m₂X₁) / (metro₁+m₂)

Ahora triángulo ∆ ESP es similar al triángulo ∆ TQR,

Por lo tanto,

PS/TQ = PR/RQ

Usando las ecuaciones 4, 5 y 1, sabemos:

y – y₁/ y₂– y = m₁/ metro₂

⇒ metro₂y – m₂y₁= metro₁y₂– metro₁y

⇒ metro₁y + m₂y = m₁y₂+m₂y₁

⇒ (metro₁+m₂)y = m₁y₂+m₂y₁

⇒ y = (m₁y₂+m₂y₁) / (metro₁+m₂)

Por tanto, las coordenadas de R(x,y) son:

R(x, y) = (metro ₁ X ₂ +m ₂ X ₁ ) / (metro ₁ +m ₂ ), (m ₁ y ₂ +m ₂ y ₁ ) / (metro ₁ +m ₂ )

Como tuvimos que calcular el punto medio, mantenemos los valores de m₁y M₂como lo mismo es decir

Para el punto medio lo conocemos por la definición de punto medio, m₁= metro₂= 1.

(x, y) = ((1.x₂+ 1.x₁) / (1 + 1), (1.y₂+ 1.y₁) / (1 + 1))

x, y = (x ₂ +x ₁ ) / 2, (y ₂ + y ₁ ) / 2

¿Cómo encontrar el punto medio?

Para encontrar las coordenadas del punto medio de cualquier segmento de línea dado, podemos usar la fórmula del punto medio si se dan los puntos finales del segmento de línea. Considere el siguiente ejemplo para lo mismo.

Ejemplo: encuentre las coordenadas del punto medio de un segmento de línea cuyos puntos finales son (5, 6) y (-3, 4).

Solución:

Como sabemos, el punto medio de un segmento de recta viene dado por la fórmula:

Punto medio = ((x₁+x₂)/2 , (y₁+y₂)/2)

donde (x₁, y₁) y (x₂, y₂) son las coordenadas de los puntos finales del segmento de línea.

Punto medio = ((5+(-3))/2, (6+4)/2)

⇒ Punto medio = (2/2, 10/2)

⇒ Punto medio = (1, 5)

Por tanto, las coordenadas del punto medio del segmento de recta son (1, 5).

Fórmula relacionada

Existen fórmulas similares a la fórmula del punto medio, que son las siguientes:

• Fórmula de sección
• Fórmula centroide

Fórmula de sección

Fórmula de sección se utiliza para encontrar la coordenada del punto que divide el segmento de línea dado en la proporción deseada. Supongamos que los puntos finales de un segmento de recta son A y B con coordenadas (X ₁ , y ₁ ) y (X ₂ , y ₂ ) , y P sea el punto que divide el segmento que une la recta AB en m:n. Entonces la coordenada de P viene dada por:

P(x, y) = [(mx ₂ + nx ₁ )/(m+n) , (mi ₂ + el ₁ )/(m+n)]

Fórmula centroide

La fórmula del centroide se utiliza para encontrar el punto central de polígonos y matemáticamente para triángulos y cuadriláteros se da de la siguiente manera:

Fórmula del centroide de un triángulo

Las coordenadas del centroide de un triángulo con vértices (x₁, y₁), (X₂, y₂), y (x₃, y₃) son:

C(x, y) = ((x ₁ +x ₂ +x ₃ )/3, (y ₁ + y ₂ + y ₃ )/3)

Centroide del triángulo

Centroide de una fórmula cuadrilátera

Las coordenadas del centroide de un cuadrilátero con vértices (x₁, y₁), (X₂, y₂), (X₃, y₃), y (x₄, y₄) son:

C(x, y) = ((x ₁ +x ₂ +x ₃ +x ₄ )/4, (y ₁ + y ₂ + y ₃ + y ₄ )/4)

Centroide del cuadrilátero

Preguntas resueltas sobre la fórmula del punto medio

Pregunta 1: ¿Cuál es el punto medio del segmento de línea AB donde el punto A está en (6,8) y el punto B es (3,1)?

Solución:

Sea el punto medio M(x_metro, y_metro),

X_metro= (x₁+x₂) / 2

X₁= 6,x₂= 3

Así, x_metro= (6 + 3) / 2 = 9 / 2 = 4.5

y_metro= (y₁+ y₂) / 2

y₁= 8, y₂= 1

Así, y_metro= (8 + 1) / 2 = 9 / 2 = 4.5

Por tanto, el punto medio de la recta AB es (4.5, 4.5).

Pregunta 2: ¿Cuál es el punto medio del segmento de línea AB donde el punto A está en (-6,4) y el punto B es (4,2)?

Solución:

Sea el punto medio M(x_metro, y_metro),

X₁= -6,x₂= 4, y₁= 4, y₂= 2

(X_metro, y_metro) = ((x₁+x₂) / 2, (y₁+ y₂) / 2)

(X_metro, y_metro) = ((-6 + 4) / 2, (4 + 2) / 2)

(X_metro, y_metro) = ((-2) / 2, (6) / 2)

(X_metro, y_metro) = (-1, 3)

Por tanto, el punto medio de la línea AB es (-1, 3).

Pregunta 3: Encuentre el valor de p para que (–2, 2,5) sea el punto medio entre (p, 2) y (–1, 3).

Solución:

Sea el punto medio M(x_metro, y_metro) = (-2, 2,5) donde,

X₁= -1,x_metro= -2

La coordenada y del punto final ya se conoce como 2, por lo tanto, solo necesitamos encontrar la coordenada x

X_metro= (x₁+x₂) / 2

-2 = (-1 + p) / 2

-4 = -1 + p

pag = -3

Por tanto, el otro punto final de la línea es (-3, 2).

Pregunta 4: Si las coordenadas de los puntos finales de un segmento de recta son (3, 4) y (7, 8), encuentre la distancia entre el punto medio del segmento de recta y el punto (3, 4).

Solución:

Sean A(3, 4) y B(7, 8) los puntos finales del segmento de línea dado, y C es el punto medio del segmento de línea AB.

Luego usando la fórmula del punto medio,

Coordenada de C = ( (3+7)/2 , (4+8)/2 ) = (5, 6)

Usando la fórmula de distancia

Distancia = √{(x₂- X₁)²+ (y₂– y₁)²}

⇒ Distancia = √{(3 – 5)²+ (4 – 6)²}

⇒ Distancia =√{(-2)²+ (-2)²}

⇒ Distancia =√8 = 2√2

Por lo tanto, la distancia entre el punto medio del segmento de recta y el punto (3, 4) es 2√2.

Fórmula del punto medio: preguntas frecuentes

¿Qué es la fórmula del punto medio?

Matemáticamente la fórmula del punto medio se da de la siguiente manera:

Punto medio = ((x ₁ +x ₂ )/2 , (y ₁ + y ₂ )/2)

¿Cuál es el significado de la fórmula del punto medio?

La fórmula del punto medio es importante porque nos permite encontrar el punto central de cualquier segmento de línea en un sistema de coordenadas cartesiano.

¿Cuáles son las aplicaciones de la fórmula del punto medio?

Hay muchos casos de uso de la fórmula del punto medio, ya que en geometría podemos usarla para soluciones y propiedades de triángulos, polígonos y otras formas; en física también tiene aplicación para encontrar el centro de masa.

¿Se puede utilizar la fórmula del punto medio para tres o más puntos?

No, la fórmula del punto medio no se puede utilizar para tres puntos ya que el punto medio se define solo para dos puntos. Para tres puntos podemos usar la fórmula del centroide si queremos encontrar la coordenada del centroide para el triángulo formado por los tres puntos dados.

¿Cuantos puntos medios tiene un segmento?

Un segmento tiene un solo punto medio.