La ley de probabilidad total es importante para encontrar la probabilidad de que ocurra un evento. Si se sabe que la probabilidad de que un evento suceda es 1, entonces para un evento imposible es probable que sea 0. Una regla fundamental en la teoría de la probabilidad que está interconectada con la probabilidad marginal y la probabilidad condicional se llama ley de probabilidad total o teorema de probabilidad total.
Después de varios eventos, se sabe que se debe conocer la probabilidad de todas las posibilidades. El teorema de probabilidad total es la base central del teorema de Baye. En este artículo, hemos discutido conceptos importantes relacionados con la probabilidad total, incluida la ley de probabilidad total , declaraciones, pruebas y algunos ejemplos.
Ley de probabilidad total
Dados n eventos mutuamente excluyentes A1, A2, …Ak tales que la suma de sus probabilidades es la unidad y su unión es el espacio de eventos E, entonces Ai ∩ Aj= NULL, para todo I que no sea igual a j, y
A1 U A2 U ... U Ak = E>
Entonces el Teorema de probabilidad total, o ley de probabilidad total, es: 
donde B es un evento arbitrario y P(B/Ai) es la probabilidad condicional de que B suponga que A ya ocurrió.
Prueba del teorema de probabilidad total
Sean A1, A2,…, Ak eventos disjuntos que forman una partición del espacio muestral y supongamos que P(Ai)> 0, para i = 1, 2, 3….k, tal que:
A1 U A2 U A3 U ....U AK = E(Total)>
Entonces, para cualquier evento B, tenemos,
B = B ∩ E B = B ∩ (A1 U A2 U A3 U ....U AK)>
Como intersección y unión son distributivas. Por lo tanto,
B = (B ∩ A1) U (B ∩ A2)U ... U(B ∩ AK)>
Dado que todas estas particiones están separadas. Entonces tenemos,
P(B ∩ A1) = P(B ∩ A1) U P(B ∩ A2)U ... U P(B ∩ AK)>
Ese es el teorema de la suma de probabilidades para una unión de eventos disjuntos. Usando probabilidad condicional
P(B / A) = P(B ∩ A) / P(A)>
O por la regla de la multiplicación,
P(B ∩ A) = P(B / A) x P(A)>
Aquí se dice que los eventos A y B son eventos independientes si P(B|A) = P(B), donde P(A) no es igual a cero(0),
P(A ∩ B) = P(A) * P(B)>
donde P(B|A) es la probabilidad condicional que da la probabilidad de que ocurra el evento B cuando el evento A ya ocurrió. Por eso,
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P(B ∩ Ai) = P(B | Ai).P(Ai) ; i = 1, 2, 3....k>
Aplicando esta regla anterior obtenemos,
Este es el ley de probabilidad total . La ley de probabilidad total también se conoce como el teorema de probabilidad total o ley de alternativas.
Nota:
La ley de probabilidad total se utiliza cuando no se conoce la probabilidad de un evento, pero se conoce su ocurrencia en varios escenarios disjuntos y la probabilidad de cada escenario.
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Aplicación del teorema de la probabilidad total
Se utiliza para la evaluación del denominador en Teorema de Bayes . El teorema de Bayes para n conjuntos de eventos se define como,
Sea mi1, Y2,…, Ynorteser un conjunto de eventos asociados con el espacio muestral S, en el que todos los eventos E1, Y2,…, Ynortetienen una probabilidad de ocurrencia distinta de cero. Todos los eventos E1, Y2,…, E forman una partición de S. Sea A un evento del espacio S para el cual tenemos que encontrar la probabilidad, entonces, según el teorema de Bayes,
EDUCACIÓN FÍSICA i |A) = P(E i )P(A|E i ) / ∑ P(E k )P(A|E k )
para k = 1, 2, 3,…., norte
Ejemplo
1. Sacamos dos cartas de una baraja de cartas barajadas con reposiciones. Calcula la probabilidad de que la segunda carta sea un rey.
Explicación:- Sea A: represente el evento de obtener la primera carta, un rey. B – representa el evento de que la primera carta no sea un rey. E – representa el evento de que la segunda carta sea un rey. Entonces la probabilidad de que la segunda carta sea rey o no estará representada por la ley de probabilidad total como:
P(E)= P(A)P(E|A) + P(B)P(E|B)>
Donde, P(E) es la probabilidad de que la segunda carta sea un rey, P(A) es la probabilidad de que la primera carta sea un rey, P(E|A) es la probabilidad de que la segunda carta sea un rey dado que la primera carta es un rey, P(B) es la probabilidad de que la primera carta no sea un rey, P(E|B) es la probabilidad de que la segunda carta sea un rey pero la primera carta extraída no sea un rey. Según la pregunta:
P(A) = 4 / 52 P(E|A) = 4 / 52 P(B) = 48 / 52 P(E|B) = 4 / 52>
Por lo tanto,
P(E) = P(A)P(E|A) + P(B)P(E|B) =(4 / 52) * (4 / 52) + (48 / 52) * (4 / 52) = 0.0769230>
Preguntas frecuentes sobre la ley de probabilidad total
P.1: ¿Para qué sirve la probabilidad total?
Respuesta:
La ley de probabilidad total se utiliza para calcular la probabilidad de un evento dado cualquier número de eventos relacionados. Usar el teorema de Baye para actualizar la probabilidad de una hipótesis dada nueva evidencia.
P.2: ¿La probabilidad total es siempre 1?
Respuesta:
La suma de las probabilidades de todos los eventos es siempre 1.
P.3: ¿Puede la probabilidad total ser mayor que 1?
Respuesta:
No, la probabilidad total no puede ser mayor que 1.