Las reglas de logaritmos o reglas de registro son fundamentales para simplificar formulaciones complicadas que incluyen funciones logarítmicas. Las reglas de registro facilitan el cálculo y la manipulación de logaritmos en una variedad de aplicaciones matemáticas y científicas. De todas estas reglas logarítmicas, tres de las más comunes son la regla del producto, la regla del cociente y la regla de la potencia. Aparte de estas, tenemos muchas reglas del logaritmo, que analizaremos más adelante en el artículo. Este artículo explora todas las reglas para registros, incluidas las derivadas e integrales, en detalle con los ejemplos de reglas de logaritmos. Entonces, comencemos a aprender sobre todas las reglas que tienen los logaritmos.

Tabla de contenidos

• ¿Qué son las reglas de registro?
• Tipos de logaritmo
• Lista de reglas de logaritmos
• Reglas de registro natural
• Aplicaciones del logaritmo
• Regla del producto de logaritmos
• Regla de potencia del logaritmo
• Regla del cociente de logaritmos
• Ejemplos resueltos de reglas de registro
• Preguntas de práctica sobre reglas de registro

¿Qué son las reglas de registro?

Las reglas de logaritmos en matemáticas son las reglas y leyes que se utilizan en la simplificación y manipulación de expresiones de funciones logarítmicas. Estos principios crean relaciones entre formas exponenciales y logarítmicas y brindan una técnica sistemática para manejar cálculos logarítmicos complicados.

Las reglas clave son las siguientes: regla del producto : que nos permite dividir un producto dentro de un logaritmo en una suma de logaritmos separados; regla del cociente : que nos permite dividir un cociente dentro de un logaritmo en una diferencia de logaritmos; regla de poder: lo que nos permite extraer exponentes dentro de un logaritmo; regla de cambio de base o regla de cambio de base : que nos permite cambiar la base de un logaritmo.

Estas leyes son cruciales en muchas aplicaciones matemáticas y científicas, lo que hace que los logaritmos sean una herramienta valiosa para resolver ecuaciones, modelar crecimiento exponencial y analizar grandes cantidades de datos.

Tipos de logaritmo

Normalmente tratamos con dos tipos de logaritmos:

• logaritmo común
• Logaritmo natural

Nota: Puede haber un logaritmo con cualquier número real como base, pero estos dos, es decir, el logaritmo común y natural, son los más comunes y estándar.

Analicemos estos tipos en detalle.

Logaritmo común

Un logaritmo común, a menudo conocido como log en base 10 o simplemente log, es una función matemática que representa el exponente al que se debe aumentar un número determinado para alcanzar un número determinado. Calcula la potencia de diez necesaria para obtener un número determinado.

Por ejemplo, iniciar sesión₁₀(100) es igual a 2, porque 10 elevado a la potencia de 2 es igual a 100. El logaritmo común de 100 en este caso es 2, lo que demuestra que 10²= 100. Los logaritmos comunes se utilizan en muchos sectores, incluidos la ciencia, la ingeniería y las finanzas, para simplificar representaciones de números enormes y ayudar en cálculos que requieren potencias de 10.

Logaritmo natural

El logaritmo natural es una función matemática que expresa el logaritmo en base 'e' (el número de Euler, aproximadamente 2,71828). Es la inversa de la función exponencial y representa la cantidad de tiempo necesaria para que una cantidad aumente o disminuya en un factor constante.

Por ejemplo, ln (10) ≈ 2,30259 significa que e multiplicado por 2,30259 es igual a 10. El logaritmo natural se utiliza en muchos dominios, incluidas las matemáticas, la física y las finanzas, para describir fenómenos que muestran un crecimiento o decrecimiento exponencial, como la expansión de la población, desintegración radiactiva y cálculos de interés compuesto.

¿Qué son las reglas de logaritmos?

Las operaciones logarítmicas se pueden realizar según reglas específicas. Estas reglas se conocen como:

• Regla del producto
• Regla del cociente
• Regla Cero
• Regla de identidad
• Regla de potencia o regla exponencial
• Cambio de regla base
• Regla recíproca

Además de estas reglas comunes, también podemos tener algunas reglas poco comunes, como por ejemplo:

• Propiedad inversa del logaritmo
• Derivada de registro
• Integración de registro

Regla de registro del producto

Según la regla del producto, el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de sus elementos.

Fórmula: registro_a(XY) = registro_aX + registro_aY

Ejemplo: registro₂(3 × 5) = registro₂(3) + registro₂(5)

Regla del cociente de registro

La regla del cociente afirma que el logaritmo de un cociente es igual a la diferencia de los logaritmos del numerador y del denominador.

Fórmula: registro_a(X/Y) = log_aX – iniciar sesión_aY

Ejemplo: registro₃(9/3) = iniciar sesión₃(9) – registro₃(3)

Regla de registro cero

Según la regla del cero, el logaritmo de 1 en cualquier base es siempre 0.

Fórmula: registro_a(1) = 0

Ejemplo: registro₄(1) = 0

Regla de identidad del registro

Según la regla de identidad, el logaritmo de una base respecto de sí misma es siempre 1.

Fórmula: registro_a(un) = 1

Ejemplo: registro₇(7) = 1

Regla recíproca

Según la regla recíproca de los logaritmos, el logaritmo del recíproco de un número (1 dividido por ese número) es igual al negativo del logaritmo del número original. En notación matemática:

​Fórmula: registro_a(1/X) = – registro_a(X)

Ejemplo: registro_a(1/2) = – iniciar sesión_a(2)

Regla de potencia o regla de registro exponencial

Según la regla de la potencia, el logaritmo de un número elevado a un exponente es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base.

Fórmula: registro_a(X^norte) = norte × registro_aX

Ejemplo: registro₅(9²) = 2 × registro₅(9)

Cambio de regla base de registro

La regla de cambio de base le permite calcular el logaritmo de un número en una base diferente empleando un logaritmo común (normalmente base 10 o base e). La regla de cambio de base también se llama Regla de cambio de base.

Fórmula: registro_a(X) = logᵦ(X) / logᵦ(a)

Ejemplo: registro₃(7) = registro₁₀(7) / registro₁₀(3)

Propiedad inversa del logaritmo

La propiedad inversa del logaritmo afirma que al calcular el logaritmo de un valor exponenciado se obtiene el exponente original.

Fórmula: registro_a(aⁿ) = norte

Ejemplo: log₄(4²) = 2

Derivada de registro

La derivada del logaritmo natural de una función es el recíproco de la función multiplicado por la derivada de la función.

Fórmula: d/dx [ln(f(x))] = f'(x) / f(x)

Ejemplo: Si y = ln(x²), entonces dy/dx = 2x / x²= 2/x

Integración de registro

Además de la diferenciación, también podemos calcular la integral del logaritmo. La integral de la función Log viene dada por la siguiente manera:

Fórmula: ∫ln(x) dx = x · ln(x) – x + C = x · (ln(x) – 1) + C

Reglas de registro natural

Como natural y común ambos troncos tienen sólo una diferencia de base, por lo que las reglas para los troncos naturales son las mismas que para el tronco común, que ya se han comentado. La única diferencia es que en las reglas de registros naturales, en lugar de log (símbolo de registro común con base 10) usamos ln (símbolo de registro natural de base e). Estas reglas se pueden enunciar de la siguiente manera:

• ln (mn) = ln m + ln n
• ln (m/n) = ln m – ln n
• en m^norte= n en m
• ln a = (log a) / (log e)
• en mi = 1
• En 1 = 0
• Es^{en x}=x

Aplicaciones del logaritmo

Veamos algunas de las aplicaciones del registro.

• Utilizamos logaritmos para calcular la acidez y alcalinidad de soluciones químicas.
• La escala de Richter se utiliza para calcular la intensidad de un terremoto.
• La cantidad de ruido se mide en decibeles (dB) en una escala logarítmica.
• Los logaritmos se utilizan para analizar procesos exponenciales como la desintegración de isótopos activos, el desarrollo bacteriano, la propagación de una epidemia en una población y el enfriamiento de un cadáver.
• Se utiliza un logaritmo para calcular el tiempo de amortización de un préstamo.
• El logaritmo se utiliza en cálculo para diferenciar ecuaciones difíciles y calcular el área bajo las curvas.

Regla del producto de logaritmos

Según la regla del producto para logaritmos, el logaritmo de una multiplicación de dos términos es igual a la suma de los logaritmos de esos términos individuales. En otras palabras, esta regla se expresa como log_b(mn) = registro_b(m) + registro_b(norte). Procedamos a derivar esta regla.

Proceso de derivación:

Comencemos asumiendo log_b(m) = x y registro_b(norte) = y. Convirtiendo ambos a sus formas exponenciales, obtenemos:

registro_b(m) = x implica m = b^X… (1)

registro_b(n) = y implica n = b^y… (2)

Cuando multiplicamos las ecuaciones (1) y (2) juntas,

min = b^{X .}b^y

Utilizando las reglas para multiplicar exponentes,

min = b^{x + y}

Al volver a convertir a forma logarítmica se obtiene,

registro_b(mn) = x + y

Sustituyendo x e y,

registro_b(mn) = registro_b(m) + registro_b(norte)

Por tanto, hemos derivado la regla del producto de los logaritmos. Esta regla se puede utilizar de varias maneras, tales como:

log(3a) = log 3 + log a log 10 = log(5×2) = log 5 + log 2 log3(ab) = log3 a + log3 b Es importante tener en cuenta que la regla del producto para logaritmos no se aplica a log (m + n), que no se puede dividir en logaritmos separados. Esta regla se aplica estrictamente al logaritmo de un producto, log(mn).

Regla de potencia del logaritmo

La regla de la potencia del logaritmo establece que cuando el argumento de un logaritmo se eleva a una potencia, ese exponente se puede mover al frente del logaritmo. En otras palabras, logb mn = n logb m. Exploremos la derivación de esta regla.

Proceso de derivación:

Comience asumiendo log_bmetro es igual a x. Al convertir esto a su forma exponencial nos da:

b^X= metro

Luego, eleva ambos lados a la potencia de n, lo que da como resultado:

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(b^X)^norte= metro^norte

Aplicando la regla de la potencia del exponente se obtiene:

b^nx= metro^norte

Volviendo a la forma logarítmica, obtenemos:

registro_bmetro^norte= nx

Reemplazando x con log_bm, llegamos a:

registro_bmetro^norte= norte registro_bmetro

Con esto concluye la derivación de la regla de la potencia del logaritmo. A continuación se muestran varios ejemplos de cómo se aplica esta regla:

log 3z = z log 3 log y2 = 2 log y log3 yx = x log3 y

Regla del cociente de logaritmos

Según la regla del cociente para logaritmos, el logaritmo de una división entre dos números es la resta de los logaritmos de cada número.

Específicamente, la regla establece que el registro_b(m/n) = registro_bmetro - registro_bnorte. Procedamos a derivar esta regla.

Proceso de derivación:

Supongamos que registre_bm es igual a x y log_bn es igual a y. Los expresaremos en sus formas exponenciales.

registro_bm = x implica m = b^X… (1)

registro_bn = y implica n = b^y… (2)

Cuando dividimos la ecuación (1) por la ecuación (2),

m/n = segundo^X/ b^y

Aplicando la regla del cociente para exponentes,

m/n = segundo^{x – y}

Convirtiendo nuevamente a forma logarítmica,

registro_b(m/n) = x – y

Sustituyendo x e y,

registro_b(m/n) = registro_bmetro - registro_bnorte

Por tanto, hemos derivado la regla del cociente para logaritmos. Esta regla se puede utilizar de la siguiente manera:

log (y/3) = log y – log 3

registro 25 = registro (125/5) = registro 125 – registro 5

log7 (a/b) = log7 a – log7 b

Es importante señalar que la regla del cociente no implica nada para log (m – n).

Temas relacionados:

• Tabla antilogaritmo
• Calculadora de registros
• Tronco Natural
• Tabla de registro

Ejemplos resueltos de reglas de registro

Ejemplo 1: simplificar el registro ₂ (4 × 8).

Solución:

Usando la regla del producto, dividimos el producto en una suma de logaritmos:

registro₂(4 × 8) = registro₂(4) + registro₂(8) = 2 + 3 = 5.

Ejemplo 2: simplificar el registro ₄ (16 / 2).

Solución:

Usando la regla del cociente, dividimos el cociente en una diferencia de logaritmos:

registro₄(16/2) = iniciar sesión₄(16) – registro₄(2) = 2 – 0.5 = 1.5.

Ejemplo 3: simplificar el registro ₅ (25 ³ ).

Solución:

Usando la regla de la potencia, podemos reducir el exponente como coeficiente:

registro₅(25³) = 3 × registro₅(25) = 3 × 2 = 6.

Ejemplo 4: convertir registro ₃ (7) en una expresión con base 10.

Solución:

Usando la regla del cambio de base, dividimos por el logaritmo de la nueva base:

registro₃(7) = log₁₀(7) / log₁₀(3) ≈ 1,7712

Ejemplo 5: Evaluar registro ₇ (49) utilizando la regla del cambio de base con base 2.

Solución:

Usando la regla de cambio de base con base 2:

registro₇(49) = registro₂(49) / registro₂(7) = 5 / 1,807 = 2,77 (aprox).

Preguntas de práctica sobre reglas de registro

Problema 1: Simplifica la expresión: log₂(4) + registro₂(8).

Problema 2: Simplificar: iniciar sesión₅(25) – registro₅(5).

Problema 3: Simplifica la expresión: log₃(9²).

Problema 4: Registro expreso₄(25) en términos de logaritmos comunes.

Problema 5: Simplifique el uso de reglas de registro: log₇(49) + 2 registro₇(3).

Problema 6: Resuelva para x: iniciar sesión₂(x) = 3.

Problema 7: Resuelve para x: 2^{3x – 1}= 8.

Reglas de registro: preguntas frecuentes

¿Qué son las reglas de logaritmos?

Las reglas de logaritmos son una colección de recomendaciones para manipular y simplificar fórmulas utilizando funciones logarítmicas. Ofrecen un método sistemático para abordar cálculos complicados e interacciones entre exponenciales y logaritmos.

¿Cuántas reglas de logaritmos clave existen?

La regla del producto, la regla del cociente, la regla de la potencia, la regla del cambio de base y la regla del cambio de base son reglas importantes de logaritmos. Estos principios permiten modificaciones y cálculos de expresiones logarítmicas.

¿Qué es la regla del producto logarítmico?

Según la regla del producto, el logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores individuales: logₐ(xy) = logₐx + logₐy.

¿Cuáles son dos tipos de logaritmos?

Los dos tipos de logaritmos más utilizados son:

• Logaritmo común o logaritmo en base 10
• Logaritmo Natural o Base y Logaritmo

¿Qué es la regla logarítmica para el cambio de base?

Según el cambio de regla base de log, log_a(b)=[registro_C(Blog_C(a)], donde c es cualquier número real positivo.

¿Qué es el registro 0?

Se desconoce el logaritmo del cero. Nunca adquirimos el número 0 elevando ningún valor a la potencia de cualquier otro valor.

¿Qué es el registro 1?

Debido a la regla del cero, el logaritmo de 1 en cualquier base siempre es 0, es decir, log_a(1) = 0.

¿Qué es el logaritmo de cualquier número consigo mismo como base?

Según la regla de identidad, el logaritmo de una base respecto de sí misma es siempre 1, es decir, log_a(un) = 1.

¿Cuál es la relación entre logaritmos y exponenciales?

Los logaritmos y exponenciales son operaciones inversas. Un logaritmo te indica el exponente necesario para alcanzar un determinado número, mientras que un exponencial eleva una base a un exponente.

¿Cuáles son las 7 reglas de los logaritmos?

Las 7 reglas de los logaritmos incluyen

• Regla del producto
• Regla del cociente
• Regla de poder
• Cambio de reglas base
• Regla Cero
• Regla de identidad
• Regla negativa

Estas reglas se utilizan para simplificar expresiones logarítmicas.

¿Qué es la regla del exponente logarítmico?

La regla del exponente logarítmico establece que log base b de a^Xes igual a x multiplicado por log base b de a, es decir, log_ba^X= x registro_ba.

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¿Cuál es la diferencia clave entre el tronco común y el tronco natural?

La diferencia clave entre el registro común y el natural es que los registros comunes usan la base 10, mientras que los registros naturales usan la constante matemática 'e' como base.

¿Qué es la regla derivada para Log?

La regla derivada para funciones logarítmicas es: d/dx[log_b(x)] = 1 / (x ln(b)), donde 'b' es la base del logaritmo.

¿Qué es la regla de cambio de base?

De acuerdo con la regla de cambio de base, la base de cualquier logaritmo se puede cambiar a cualquier otra base deseada usando la fórmula: loga(X) = logb(X) / logb(a).