La descomposición LU de una matriz es la factorización de una matriz cuadrada dada en dos matrices triangulares, una matriz triangular superior y una matriz triangular inferior, de modo que el producto de estas dos matrices dé la matriz original. Fue introducido por Alan Turing en 1948, quien también creó la máquina de Turing.

El método de descomposición LU para factorizar una matriz como producto de dos matrices triangulares tiene varias aplicaciones, como la solución de un sistema de ecuaciones, que a su vez es una parte integral de muchas aplicaciones, como encontrar corriente en un circuito y resolver problemas de sistemas dinámicos discretos. ; encontrar la inversa de una matriz y encontrar el determinante de la matriz.

¿Qué es la descomposición L U?

Una matriz cuadrada A se puede descomponer en dos matrices cuadradas L y U tales que A = L U donde U es una matriz triangular superior formada como resultado de aplicar el método de eliminación de Gauss en A, y L es una matriz triangular inferior con elementos diagonales igual a 1.

Para A =egin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} a_{21} & a_{22} & a_{23} a_{31} & a_{32} & a_{33} end{bmatrix} .

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Tenemos L = egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 l_{21} & 1 & 0 l_{31} & l_{32} & 1 end{bmatrix} y U =egin{bmatrix} u_{11} & u_{12} & u_{13} 0 & u_{22} & u_{23} 0 & 0 & u_{33} end{bmatrix} ;

Tal que A = L U es decir,left[egin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{13} a_{21} & a_{22} & a_{23} a_{31} & a_{32} & a_{33} end{array} ight]=left[egin{array}{lll} 1 & 0 & 0 l_{21} & 1 & 0 l_{31} & l_{32} & 0 end{array} ight] cdot left[egin{array}{ccc} u_{11} & u_{12} & u_{13} 0 & u_{22} & u_{23} 0 & 0 & u_{33} end{array} ight]

Aquí el valor de l₂₁, en₁₁, etc. se pueden comparar y encontrar.

¿Qué es el método de eliminación de Gauss?

La eliminación gaussiana, también conocida como eliminación de Gauss-Jordan, es un método utilizado en álgebra lineal para resolver sistemas de ecuaciones lineales y encontrar la inversa de una matriz. Lleva el nombre del matemático Carl Friedrich Gauss y también del matemático Wilhelm Jordan, quienes hicieron importantes contribuciones a su desarrollo.

Según el método de eliminación de Gauss:

1. Cualquier fila cero debe estar en la parte inferior de la matriz.
2. La primera entrada distinta de cero de cada fila debe estar en el lado derecho de la primera entrada distinta de cero de la fila anterior. Este método reduce la matriz a forma escalonada por filas.

Método de descomposición LU

Para convertir cualquier matriz cuadrada en dos matrices triangulares, es decir, una es una matriz triangular inferior y la otra es una matriz triangular superior, podemos seguir los siguientes pasos.

• Dado un conjunto de ecuaciones lineales, primero conviértalas en forma matricial A X = C donde A es la matriz de coeficientes, X es la matriz variable y C es la matriz de números en el lado derecho de las ecuaciones.
• Ahora, reduzca la matriz de coeficientes A, es decir, la matriz obtenida a partir de los coeficientes de las variables en todas las ecuaciones dadas, de modo que para 'n' variables tengamos una matriz nXn, a forma escalonada por filas utilizando el método de eliminación de Gauss. La matriz así obtenida es U.
• Para encontrar L, tenemos dos métodos. La primera es asumir los elementos restantes como variables artificiales, hacer ecuaciones usando A = L U y resolverlas para encontrar esas variables artificiales. El otro método es que los elementos restantes son los coeficientes multiplicadores debido a que las posiciones respectivas se volvieron cero en la matriz U. (Este método es un poco complicado de entender con palabras, pero quedará claro en el siguiente ejemplo)
• Ahora, tenemos A (la matriz de coeficientes nXn), L (la matriz triangular inferior nXn), U (la matriz triangular superior nXn), X (la matriz de variables nX1) y C (la matriz de números nX1 de la derecha). lado derecho de las ecuaciones).
• El sistema de ecuaciones dado es A X = C. Sustituimos A = L U. Por lo tanto, tenemos L U X = C. Ponemos Z = U X, donde Z es una matriz o variables artificiales y resolvemos primero para L Z = C y luego para U X = Z para encontrar X o los valores de las variables, que se requería.

Ejemplo de descomposición LU

Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones usando el método de descomposición LU:

egin{equation*} x_1 + x_2 + x_3 = 1 end{equation*} egin{equation*} 4x_1 + 3x_2 – x_3 = 6 end{equation*} egin{equation*} 3x_1 + 5x_2 + 3x_3 = 4 end{equation*}

Solución: Aquí tenemos A =

egin{bmatrix} 1 & 1 & 1 4 & 3 & -1 3 & 5 & 3 end{bmatrix} , X = egin{bmatrix} x_1 x_2 x_3 end{bmatrix}

y

C = egin{bmatrix} 1 6 4 end{bmatrix}

tal que A X = C. Ahora, primero consideramos

egin{bmatrix} 1 & 1 & 1 4 & 3 & -1 3 & 5 & 3 end{bmatrix}

y conviértalo a forma escalonada utilizando el método de eliminación de Gauss. Entonces, al hacer

egin{equation} R_2 o R_2 – 4R_1 end{equation} egin{equation} R_3 o R_3 – 3R_1 end{equation}

obtenemos

egin{bmatrix} 1 & 1 & 1 4 & 3 & -1 3 & 5 & 3 end{bmatrix} sim

egin{bmatrix} 1 & 1 & 1 0 & -1 & -5 0 & 2 & 0 end{bmatrix}

Ahora, al hacer

egin{equation} R_3 o R_3 – (-2)R_2 end{equation}

Obtenemos

sim egin{bmatrix} 1 & 1 & 1 0 & -1 & -5 0 & 0 & -10 end{bmatrix}

(Recuerde mantener siempre el signo '-' entremedio, reemplace el signo '+' por dos signos '-') Por lo tanto, obtenemos L =

no nulo en js

egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 4 & 1 & 0 3 & -2 & 1 end{bmatrix}

y U =

egin{bmatrix} 1 & 1 & 1 0 & -1 & -5 0 & 0 & -10 end{bmatrix}

(observe que en la matriz L,

l_{21} = 4

es de (1),

l_{31} = 3

es de (2) y

l_{32} = -2

es de (3)) Ahora, asumimos Z

= egin{bmatrix} z_1 z_2 z_3 end{bmatrix}

y resuelve L Z = C.

egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 4 & 1 & 0 3 & -2 & 1 end{bmatrix} egin{bmatrix} z_1 z_2 z_3 end{bmatrix}

= egin{bmatrix} 1 6 4 end{bmatrix}

Entonces tenemos

z_1 = 1 ,

4z_1 + z_2 = 6 ,

3z_1 – 2z_2 + z_3 = 4 .

Resolviendo, obtenemos

z_1 = 1

,

z_2 = 2

y

z_3 = 5

. Ahora resolvemos U X = Z

egin{bmatrix} 1 & 1 & 1 0 & -1 & -5 0 & 0 & -10 end{bmatrix} egin{bmatrix} x_1 x_2 x_3 end{bmatrix}

0,2 como fracción

= egin{bmatrix} 1 2 5 end{bmatrix}

Por lo tanto, obtenemos

x_1 + x_2 + x_3 = 1 ,

-x_2 – 5x_3 = 2

,

-10x_3 = 5 .

Por tanto, la solución del sistema de ecuaciones lineales dado es

x_1 = 1

,

x_2 = 0.5

,

x_3 = -0.5

y por tanto la matriz X =

egin{bmatrix} 1 0.5 -0.5 end{bmatrix}

Ejercicio sobre descomposición LU

En la descomposición LU de la matriz.

| 2 2 |
| 4 9 |

, si los elementos diagonales de U son ambos 1, entonces la entrada diagonal inferior l22 de L es (GATE CS 2015) (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7

Para obtener una solución, consulte PUERTA | GATE-CS-2015 (Juego 1) | Pregunta 65 .

Preguntas frecuentes sobre la descomposición LU

¿Qué es el método de descomposición LU?

La descomposición LU, abreviatura de descomposición inferior-superior, es una técnica de factorización matricial que se utiliza para descomponer una matriz cuadrada en el producto de una matriz triangular inferior (L) y una matriz triangular superior (U). Se emplea comúnmente para simplificar la resolución de sistemas de ecuaciones lineales y el cálculo de determinantes.

¿Por qué la descomposición LU es única?

La descomposición LU es única porque proporciona una manera de factorizar una matriz cuadrada A en matrices triangulares inferior y superior (L y U) de forma única, lo que permite la resolución eficiente de sistemas lineales y el cálculo de determinantes.

¿Cómo se calcula la descomposición LU?

La descomposición LU se calcula mediante la eliminación gaussiana, donde se transforma una matriz cuadrada A en matrices triangulares inferior (L) y superior (U) realizando operaciones de fila mientras se realiza un seguimiento de los cambios en matrices separadas. Este proceso es iterativo y continúa hasta que A se descompone por completo. En el artículo se proporciona el método con todos los pasos para la descomposición de LU.

¿Cuándo no es posible la descomposición de LU?

Es posible que la descomposición LU no sea posible cuando la matriz A es singular (no invertible) o cuando requiere pivotar para lograr estabilidad, pero el elemento pivote se vuelve cero, lo que provoca la división por cero durante el proceso de descomposición.

¿Existen alternativas a la descomposición LU?

Sí, las alternativas a la descomposición LU incluyen Descomposición de Cholesky para matrices definidas positivas simétricas, descomposición QR para matrices generales y métodos basados ​​en valores propios como descomposición espectral y descomposición de valores singulares (SVD) para diversas operaciones y aplicaciones matriciales.

¿Se puede aplicar la descomposición LU a matrices no cuadradas?

La descomposición LU se aplica normalmente a matrices cuadradas. Para matrices rectangulares, se utiliza más comúnmente la descomposición QR. Sin embargo, variaciones como la descomposición LUP también pueden manejar matrices rectangulares, donde P es una matriz de permutación.