Integración es el proceso de sumar pequeños valores de una función en la región de límites. Es todo lo contrario a la diferenciación. La integración también se conoce como antiderivada. Hemos explicado la integración de funciones trigonométricas en este artículo a continuación.

A continuación se muestra un ejemplo de la integración de una función determinada.

p.ej., Considere una función, f(y) = y².

Esta función se puede integrar como:

∫y²tu =frac{y^{2+1}}{2+1}~+~C

Sin embargo, un indefinite integral es una función que toma la antiderivada de otra función. Se representa como un símbolo integral (∫), una función y una derivada de la función al final. La integral indefinida es una forma más sencilla de simbolizar una antiderivada.

Aprendamos qué es la integración matemáticamente, la integración de una función f(x) viene dada por F(x) y se representa por:

∫f(x)dx = F(x) + C

Aquí R.H.S. de la ecuación significa integral de f(x) con respecto a x, F(x) se llama antiderivada o primitiva, f(x) se llama integrando, dx se llama agente integrador, C se llama constante de integración o constante arbitraria y x es la variable de integración.

Algunas integrales importantes de funciones trigonométricas

A continuación se muestra la lista de algunas fórmulas importantes de integrales indefinidas sobre conceptos básicos. funciones trigonométricas recordarse de la siguiente manera:

• ∫ sin x dx = -cos x + C
• ∫ cos x dx = sin x + C
• ∫ seg²x dx = tan x + C
• ∫ cosec²x dx = -cot x + C
• ∫ sec x tan x dx = sec x + C
• ∫ cosec x cot x dx = -cosec x + C
• ∫ tan x dx = ln | sec x | + C
• ∫ cuna x dx = ln | pecado x | +C
• ∫ sec x dx = ln | seg x + tan x | +C
• ∫ cosec x dx = ln | cosec x – cuna x | +C

Donde dx es la derivada de x, C es la constante de integración y ln representa la logaritmo de la función dentro del módulo (| |).

Generalmente los problemas de integrales indefinidas basadas en funciones trigonométricas se resuelven mediante el método de sustitución. Entonces, analicemos más sobre el método de integración por sustitución de la siguiente manera:

Integración por sustitución

En este método de integración por sustitución , cualquier integral dada se transforma en una forma simple de integral sustituyendo la variable independiente por otras. Consideremos un ejemplo para una mejor comprensión.

Ejemplo: Simplificar ∫ 3x ² sin (x ³ ) dx.

Respuesta:

Sea I = ∫ 3x²sin (x³) dx.

Para evaluar la integral dada, sustituyamos cualquier variable por una nueva variable como:

sea ​​x³ser t para la integral dada.

Entonces, dt = 3x²dx

Por lo tanto,

Yo = ∫ 3x²sin (x³) dx = ∫ sin (x³) (3x²dx)

Ahora sustituimos t por x.³y dt por 3x²dx en la integral anterior.

I = ∫ sen (t) (dt)

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Como ∫ sin x dx = -cos x + C, entonces

Yo = -cos t + C

De nuevo, sustituya x³para t en la expresión como:

Yo = ∫ 3x ² sin (x ³ ) dx = -cosx ³ +C

Cuál es la integral requerida.

Por tanto, la Forma General de integración por sustitución es:

∫ f(g(x)).g'(x).dx = f(t).dx

Donde t = g(x)

Habitualmente, el método de integración por sustitución es de gran utilidad cuando realizamos una sustitución de una función cuya derivada también está presente en el integrando. Al hacerlo, la función se simplifica y luego se pueden usar las fórmulas básicas de integración para integrar la función.

En cálculo, el método de integración por sustitución también se conoce como regla de la cadena inversa o método de sustitución U. Podemos usar este método para encontrar un valor integral cuando se configura en la forma especial. Significa que la integral dada es de la forma:

Leer más,

• Cálculo en matemáticas
• Integrales
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• Diferenciación de funciones trigonométricas
• Ecuaciones trigonométricas

Problemas de muestra sobre integración de funciones trigonométricas

Problema 1: Determinar la integral de la siguiente función: f(x) = cos ³ X.

Solución:

Consideremos la integral de la función dada como,

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yo = ∫ porque³xdx

Se puede reescribir como:

I = ∫ (cos x) (cos²x) dx

Usando identidad trigonométrica; porque²x = 1 – sin²x, obtenemos

I = ∫ (cos x) (1 – sin²x) dx

⇒ I = ∫ cos x – cos x sin²xdx

⇒ I = ∫ cosx dx – ∫ cosx sen²xdx

Como ∫ cos x dx = sen x + C,

Por tanto, I = sen x – ∫ sen²x porque x dx . . . (1)

Sea, sen x = t

⇒ cos x dx = dt.

Sustituye t por sen x y dt por cos x dx en el segundo término de la integral anterior.

I = sen x – ∫ t²dt

⇒ I = sen x – t³/3 + C

Nuevamente, sustituya t por sen x en la expresión.

Por tanto, ∫ cos ³ x dx = sin x – sin ³ x/3+C.

Problema 2: Si f(x) = sen ² (x) cos ³ (x) luego determine ∫ sen ² (x) cos ³ (x) dx.

Solución:

Consideremos la integral de la función dada como,

I = ∫ sin²(x) cos³(x)dx

Usando identidad trigonométrica; porque²x = 1 – sin²x, obtenemos

I = ∫ sin²x (1 – sin²x) porque x dx

Sea sen x = t entonces,

⇒ dt = cos x dx

Sustituye estos en la integral anterior como,

yo = ∫ t²(1-t²) DT

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⇒ yo = ∫ t²–t⁴dt

⇒ yo = t³/ 3 – t⁵/ 5+C

Sustituya el valor de t en la integral anterior como,

Por lo tanto, I = pecado ³ x / 3 – sin ⁵ x/5+C.

Problema 3: Sea f(x) = sen ⁴ (x) luego encuentre ∫ f(x)dx. es decir ∫ pecado ⁴ (x) dx.

Solución:

Consideremos la integral de la función dada como,

I = ∫ sin⁴(x)dx

⇒ I = ∫ (sin²(X))²dx

Uso de la identidad trigonométrica; pecado²(x) = (1 – cos (2x)) / 2, obtenemos

Yo = ∫ {(1 – porque (2x)) / 2}²dx

⇒ I = (1/4) × ∫ (1+cos²(2x)- 2 cos2x) dx

⇒ I = (1/4) × ∫ 1 dx + ∫ cos²(2x) dx – 2 ∫ cos2x dx

⇒ I = (1/4) × [ x + ∫ (1 + cos 4x) / 2 dx – 2 ∫ cos2x dx ]

⇒ I = (1/4) × [ 3x / 2 + sen 4x / 8 – sen 2x ] + C

⇒ I = 3x / 8 + sen 4x / 32 – sen 2x / 4 + C

Por tanto, ∫ pecado ⁴ (x) dx = 3x / 8 + sen 4x / 32 – sen 2x / 4 + C

Problema 4: Encuentre la integración de old{intfrac{e^{tan^{-1}x}}{1+x^2} dx} .

Solución:

Consideremos la integral de la función dada como,

I =int frac{e^{tan^{-1}x}}{1+x^2} dx

Sea t = tan^-1X . . . (1)

Ahora, deriva ambos lados con respecto a x:

dt = 1 / (1+x²) dx

Por tanto, la integral dada queda como:

yo = ∫ mi^tdt

⇒ yo = mi^t+C. . . (2)

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Sustituya el valor de (1) en (2) como:

⇒I = e^{tan^{-1}x} + C

Cuál es la integración requerida para la función dada.

Problema 5: Encuentre la integral de la función f (x) definida como,

f(x) = 2x porque (x ² – 5) dx

Solución:

Consideremos la integral de la función dada como,

yo = ∫ 2x porque (x²– 5) dx

Sea (x²– 5) = t . . . (1)

Ahora deriva ambos lados con respecto a x como,

2x dx = dt

Sustituyendo estos valores en la integral anterior,

Yo = ∫ cos (t) dt

⇒ I = sen t + C . . . (2)

Sustituya el valor de la ecuación (1) en la ecuación (2) como,

⇒ I = sin (x²– 5) +C

Esta es la integración requerida para la función dada.

Problema 6: Determinar el valor de la integral indefinida dada, I = ∫ cot (3x +5) dx.

Solución:

La integral dada se puede escribir como,

I = ∫ cuna (3x +5) dx

⇒ I = ∫ cos (3x +5) / sen (3x +5) dx

Sea t = pecado(3x + 5)

⇒ dt = 3 cos (3x+5)dx

⇒ cos (3x+5) dx = dt / 3

De este modo,

I = ∫ dt / 3 sen t

⇒ Yo = (1 / 3) ln | t | +C

Reemplace t por sin (3x+5) en la expresión anterior.

Yo = (1/3) ln | pecado (3x+5) | +C

Esta es la integración requerida para la función dada.

Integración de funciones trigonométricas: preguntas frecuentes

¿Qué es la integración de una función trigonométrica?

La integración de funciones trigonométricas, como su nombre indica, es el proceso de calcular la integración o primitiva de funciones trigonométricas. Este es el proceso inverso de diferenciación de funciones trigonométricas.

¿Qué son las funciones trigonométricas básicas?

Las funciones trigonométricas básicas son:

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• sine (sin),
• coseno (cos),
• tangent (tan),
• cotangente (codo),
• secante (seg), y
• cosecante (csc).

¿Cómo se integran las funciones seno (sin) y coseno (cos)?

Para integrar las funciones seno y coseno, podemos utilizar las siguientes fórmulas:

• ∫ sin(x) dx = -cos(x) + C
• ∫ cos(x) dx = sin(x) + C

Dónde C es la constante de integración.

¿Qué es la integración de la función trigonométrica tangente (tan)?

La integral de la función tangente viene dada por la siguiente manera:

∫ tan(x) dx = -ln|cos(x)| + C

Dónde,

• en representa el logaritmo natural, y
• C es la constante de integración.

¿Cómo encontrar la integral de la función trigonométrica secante (sec)?

La integral de la función secante viene dada por:

∫ sec(x) dx = ln|sec(x) + tan(x)| +C

Dónde,

• en representa el logaritmo natural, y
• C es la constante de integración.

¿Cuál es la integración de la función trigonométrica cotangente (cot)?

La integral de la función cotangente se puede calcular mediante la siguiente fórmula:

∫ cot(x) dx = ln|sin(x)| +C

Dónde,

• en representa el logaritmo natural, y
• C es la constante de integración.

¿Cómo encontrar la integral de la función cosecante (cosec)?

La integral de la función cosecante viene dada por:

∫ cosec(x) dx = ln| cosec x – cuna x | +C

Dónde,

• en representa el logaritmo natural, y
• C es la constante de integración.