Regla 2

Si se intercambian los lados izquierdo y derecho de las expresiones, entonces la desigualdad se invierte. Se llama propiedad inversa.

• Si a> b, entonces b
• si un a
• Si a ≥ b, entonces b ≤ a
• Si a ≤ b, entonces b ≥ a

Regla 3

Si se suma o resta la misma constante k a ambos lados de la desigualdad, entonces ambos lados de la desigualdad son iguales.

• Si a> b, entonces a + k> b + k
• Si a> b, entonces a – k> b – k

Lo mismo ocurre con otras desigualdades.

• si un
• si un
• Si a ≤ b, entonces a + k ≤ b + k
• Si a ≤ b, entonces a – k ≤ b – k
• Si a ≥ b, entonces a + k ≥ b + k
• Si a ≥ b, entonces a – k ≥ b – k

La dirección de la desigualdad no cambia después de sumar o restar una constante.

Regla 4

Si k es una constante positiva que se multiplica o divide por ambos lados de la desigualdad, entonces no hay cambio en la dirección de la desigualdad.

• Si a> b, entonces ak> bk
• si un
• Si a ≤ b, entonces ak ≤ bk
• Si a ≥ b, entonces ak ≥ bk

Si k es una constante negativa que se multiplica o divide por ambos lados de la desigualdad, entonces la dirección de la desigualdad se invierte.

• Si a> b, entonces ak
• Si a> b, entonces ak
• Si a ≥ b, entonces ak ≤ bk
• Si a ≤ b, entonces ak ≥ bk

Regla 5

El cuadrado de cualquier número siempre es mayor o igual a cero.

• a²≥ 0

Regla 6

Sacar raíces cuadradas a ambos lados de la desigualdad no cambia la dirección de la desigualdad.

• Si a> b, entonces √a> √b
• si un
• Si a ≥ b, entonces √a ≥ √b
• Si a ≤ b, entonces √a ≤ √b

Gráfico de desigualdades

Las desigualdades son con una variable o dos o tenemos un sistema de desigualdades, todas ellas se pueden graficar en el plano cartesiano si solo contiene dos variables. Las desigualdades de una variable se trazan en líneas reales y dos variables se trazan en el plano cartesiano.

Notación de intervalo para desigualdades

Puntos importantes para escribir intervalos para desigualdades:

• En caso de mayor e igual a ( ≥ ) o menos que igual a ( ≤ ), se incluyen los valores finales, por lo que se utilizan corchetes o corchetes [ ].
• En caso de mayor que ( > ) o menos de ( < ), los valores finales se excluyen, por lo que se utilizan corchetes abiertos ().
• Tanto para el infinito positivo como para el negativo se utilizan corchetes abiertos ().

La siguiente tabla representa intervalos para diferentes desigualdades:

Gráfico de desigualdades lineales con una variable

En la siguiente tabla podemos entender cómo trazar varias desigualdades lineales con una variable en una línea real.

Desigualdad	Intervalo comando arp	Grafico
x> 1	(1, ∞)	Desigualdades lineales con una variable
x<1	(-∞, 1)
x ≥ 1	[1, ∞)
x ≤ 1	(-∞, 1]

Gráfica de desigualdades lineales con dos variables

Tomemos un ejemplo de desigualdades lineales con dos variables.

Considere la desigualdad lineal 20x + 10y ≤ 60, ya que las posibles soluciones para la desigualdad dada son (0, 0), (0,1), (0, 2), (0,3), (0,4), (0 ,5), (0,6), (1,0), (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,0), (2,1 ), (2,2), (3,0), y también todos los puntos más allá de estos puntos también son la solución de la desigualdad.

Tracemos la gráfica a partir de las soluciones dadas.

La región sombreada en el gráfico representa las posibles soluciones para la desigualdad dada.

Leer también

• Solución gráfica de desigualdades lineales en dos variables

Tipos de desigualdades

Existen varios tipos de desigualdades que se pueden clasificar de la siguiente manera:

• Desigualdades polinómicas: Las desigualdades polinomiales son desigualdades que se pueden representar en forma de polinomios. Ejemplo: 2x + 3 ≤ 10.
• Desigualdades de valor absoluto: Las desigualdades de valor absoluto son las desigualdades dentro del signo de valor absoluto. Ejemplo- |y + 3| ≤ 4.
• Desigualdades racionales: Las desigualdades racionales son desigualdades con fracciones junto con las variables. Ejemplo- (x + 4) / (x – 5) <5.

Cómo resolver desigualdades

Para resolver las desigualdades, podemos seguir los siguientes pasos:

• Paso 1: Escribe la desigualdad en forma de ecuación.
• Paso 2: Resuelve la ecuación y obtén las raíces de las desigualdades.
• Paso 3: Representa los valores obtenidos en la recta numérica.
• Etapa 4: Representa los valores excluidos también en la recta numérica con los círculos abiertos.
• Paso 5: Encuentra los intervalos de la recta numérica.
• Paso 6: Tome un valor aleatorio de cada intervalo y coloque estos valores en la desigualdad y verifique si satisface la desigualdad.
• Paso 7: La solución de la desigualdad son los intervalos que satisfacen la desigualdad.

Cómo resolver desigualdades polinomiales

Las desigualdades polinómicas incluyen desigualdades lineales, desigualdades cuadráticas, desigualdades cúbicas, etc. Aquí aprenderemos a resolver desigualdades lineales y cuadráticas.

Resolver desigualdades lineales

Las desigualdades lineales se pueden resolver como ecuaciones lineales pero según la regla de las desigualdades. Las desigualdades lineales se pueden resolver mediante operaciones algebraicas simples.

Desigualdades de uno o dos pasos

La desigualdad de un paso son desigualdades que se pueden resolver en un solo paso.

Ejemplo: Resuelva: 5x <10

Solución:

sql seleccionar como

⇒ 5x <10 [Dividiendo ambos lados entre 5]

⇒ x <2 o (-∞, 2)

La desigualdad de dos pasos son desigualdades que se pueden resolver en dos pasos.

Ejemplo: Resuelva: 4x + 2 ≥ 10

Solución:

⇒ 4x + 2 ≥ 10

⇒ 4x ≥ 8 [Restando 2 de ambos lados]

⇒ 4x ≥ 8 [Dividiendo ambos lados entre 4]

⇒ x ≥ 2 o [2, ∞)

Desigualdades compuestas

Las desigualdades compuestas son desigualdades que tienen múltiples desigualdades separadas por y o o. Para resolver desigualdades compuestas, resuelva las desigualdades por separado y, para la solución final, realice la intersección de las soluciones obtenidas si las desigualdades están separadas por y y realice la unión de las soluciones obtenidas si las desigualdades están separadas por o.

Ejemplo: Resuelva: 4x + 6 <10 y 5x + 2 < 12

Solución:

Primero resuelve 4x + 6 <10

⇒ 4x + 6 <10 [Restando 6 de ambos lados]

⇒ 4x <4

⇒ x <1 o (-∞, 1) —–(i)

Segundo resuelve 5x + 2 <12

⇒ 5x + 2 <12 [Restando 2 de ambos lados]

⇒ 5x < 10

⇒ x <2 o (-∞, 2) ——-(ii)

De (i) y (ii) tenemos dos soluciones x <1 y x <2.

Tomamos la intersección como solución final ya que las desigualdades están separadas por y.

⇒ (-∞, 1) ∩ (-∞, 2)

⇒ (-∞, 1)

La solución final para una desigualdad compuesta dada es (-∞, 1).

Leer más

• Desigualdades compuestas
• Problemas verbales de desigualdades lineales
• Desigualdad triangular

Resolver desigualdades cuadráticas

Tomemos un ejemplo para resolver desigualdades de valor absoluto.

Ejemplo: Resuelve la desigualdad: x ² – 7x + 6 ≥ 0

Solución:

Los siguientes son los pasos para resolver la desigualdad: x²– 7x + 6 ≥ 0

Paso 1: Escribe la desigualdad en forma de ecuación:

X²– 7x + 6 = 0

Paso 2: Resuelve la ecuación:

X²– 7x + 6 = 0

X²– 6x – x + 6 = 0

x(x – 6) – 1(x – 6) = 0

(x – 6) (x – 1) = 0

x = 6 y x = 1

Del paso anterior obtenemos los valores x = 6 y x = 1

Paso 3: De los valores anteriores, los intervalos son (-∞, 1], [1, 6], [6, ∞)

Dado que la desigualdad es ≥ que incluye igual a, usamos corchetes cerrados para los valores obtenidos.

Etapa 4: Representación recta numérica de los intervalos anteriores.

Paso 5: Tome números aleatorios entre cada intervalo y verifique si satisface el valor. Si satisface, incluya el intervalo en la solución.

Para el intervalo (-∞, 1], sea -1 el valor aleatorio.

Poniendo x = -1 en la desigualdad x²– 7x + 6 ≥ 0

⇒ (-1)²– 7(-1) + 6 ≥ 0

⇒ 1 + 7 + 6 ≥ 0

⇒ 14 ≥ 0 (Verdadero)

c conjunto de cadenas

Para el intervalo [1, 6], sea 2 el valor aleatorio.

Poniendo x = 0 en la desigualdad x²– 7x + 6 ≥ 0

⇒ 2²– 7(2) + 6 ≥ 0

⇒ 4 – 14 + 6 ≥ 0

⇒ -4 ≥ 0 (Falso)

Para el intervalo [6, ∞) sea 7 el valor aleatorio.

Poniendo x = 7 en la desigualdad x²– 7x + 6 ≥ 0

⇒ 7²– 7(7) + 6 ≥ 0

⇒ 49 – 49 + 6 ≥ 0

⇒ 6 ≥ 0 (Verdadero)

Paso 6: Entonces, la solución para la desigualdad en valor absoluto x²– 7x + 6 ≥ 0 es el intervalo (-∞, 1] ∪ [6, ∞) ya que satisface la desigualdad que se puede representar en la recta numérica como:

Cómo resolver desigualdades de valor absoluto

Tomemos un ejemplo para resolver desigualdades de valor absoluto.

Ejemplo: Resuelve la desigualdad: |y + 1| ≤ 2

Solución:

Los siguientes son los pasos para resolver la desigualdad: |y + 1| ≤ 2

Paso 1: Escribe la desigualdad en forma de ecuación:

|y + 1| = 2

Paso 2: Resuelve la ecuación:

y + 1 = ∓ 2

y + 1 = 2 y y + 1 = – 2

y = 1 y y = -3

Del paso anterior obtenemos los valores y = 1 e y = -3

Paso 3: De los valores anteriores, los intervalos son (-∞, -3], [-3, 1], [1, ∞)

Dado que la desigualdad es ≤ que incluye igual a, usamos corchetes cerrados para los valores obtenidos.

Etapa 4: Representación recta numérica de los intervalos anteriores.

Paso 5: Tome números aleatorios entre cada intervalo y verifique si satisface el valor. Si satisface, incluya el intervalo en la solución.

Para el intervalo (-∞, -3], sea -4 el valor aleatorio.

Poniendo y = -4 en la desigualdad |y + 1| ≤ 2

⇒ |-4+ 1| ≤ 2

⇒ |-3| ≤ 2

⇒ 3 ≤ 2 (Falso)

Para el intervalo [-3, 1], deje que el valor aleatorio sea 0.

Poniendo y = 0 en la desigualdad |y + 1| ≤ 2

⇒ |0+ 1| ≤ 2

⇒ |1| ≤ 2

⇒ 1 ≤ 2 (Verdadero)

Para el intervalo [1, ∞) sea 2 el valor aleatorio.

Poniendo y = 2 en la desigualdad |y + 1| ≤ 2

⇒ |2+ 1| ≤ 2

⇒ |3| ≤ 2

⇒ 3 ≤ 2 (Falso)

Paso 6: Entonces, la solución para la desigualdad en valor absoluto |y + 1| ≤ 2 es el intervalo [-3, -1] ya que satisface la desigualdad que se puede representar en la recta numérica como:

Cómo resolver desigualdades racionales

Tomemos un ejemplo para resolver desigualdades racionales.

Ejemplo: Resuelve la desigualdad: (x + 3) / (x – 1) <2

Solución:

Los siguientes son los pasos para resolver la desigualdad:

Paso 1: Escribe la desigualdad en forma de ecuación: (x + 3) / (x – 1) <2

(x + 3) / (x – 1) = 2

Paso 2: Resuelve la ecuación:

(x + 3) / (x – 1) = 2

(x+3) = 2(x – 1)

x + 3 = 2x – 2

2x-x = 3 + 2

x = 5

Del paso anterior obtenemos el valor x = 5

Paso 3: De los valores anteriores, los intervalos son (-∞,1), (1, 5), (5, ∞)

Dado que la desigualdad es

Dado que, para x = 1 la desigualdad no está definida, tomamos un corchete abierto para x = 1.

Etapa 4: Representación recta numérica de los intervalos anteriores.

Paso 5: Tome números aleatorios entre cada intervalo y verifique si satisface el valor. Si satisface, incluya el intervalo en la solución.

Para el intervalo (-∞, 1), sea 0 el valor aleatorio.

Poniendo x = 0 en la desigualdad (x + 3) / (x – 1) <2

⇒ (0 + 3) / (0 – 1) <2

⇒ 3 / (-1) <2

⇒ -3 <2 (Verdadero)

Para el intervalo (1, 5), sea 2 el valor aleatorio.

Poniendo x = 3 en la desigualdad (x + 3) / (x – 1) <2

⇒ (3 + 3) / (3 – 1) <2

⇒ 6 / 2 <2

⇒ 3 <2 (Falso)

Para el intervalo (5, ∞), sea 2 el valor aleatorio.

Poniendo y = 6 en la desigualdad (x + 3) / (x – 1) <2

⇒ (6 + 3) / (6 – 1) <2

⇒ 9 / 5 <2

java si declaración

⇒ 1,8 <2 (Verdadero)

Paso 6: Entonces, la solución para la desigualdad en valor absoluto (x + 3) / (x – 1) <2 es el intervalo (-∞, 1) ∪ (5, ∞) ya que satisface la desigualdad que se puede trazar en la recta numérica como:

Cómo resolver una desigualdad lineal con dos variables

Tomemos un ejemplo para resolver una desigualdad lineal con dos variables.

Ejemplo: Resuelva: 20x + 10y ≤ 60

Solución:

Considere x = 0 y colóquelo en la desigualdad dada

⇒ 20x + 10y ≤ 60

⇒ 20(0) + 10 años ≤ 60

⇒ 10 años ≤ 60

⇒ y ≤ 6 ——(i)

Ahora, cuando x = 0, y puede ser de 0 a 6.

De manera similar, poner valores en la desigualdad y verificar que satisface la desigualdad.

Para x = 1, y puede ser de 0 a 4.

Para x = 2, y puede ser de 0 a 2.

Para x = 3, y puede ser 0.

La posible solución para una desigualdad dada es (0, 0), (0,1), (0, 2), (0,3), (0,4), (0,5), (0,6), ( 1,0), (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,0), (2,1), (2,2), (3, 0).

Sistemas de desigualdades

Los sistemas de desigualdades son el conjunto de dos o más desigualdades con una o más variables. Los sistemas de desigualdades contienen múltiples desigualdades con una o más variables.

El sistema de desigualdades es de la forma:

a₁₁X₁+ un₁₂X₂+ un₁₃X₃…….. + un_1nX_{norte 1}

a₂₁X₁+ un₂₂X₂+ un₂₃X₃…….. + un_2nX_{norte 2}

a_n1X₁+ un_n2X₂+ un_n3X₃…….. + un_nnX_{norte norte}

Representación gráfica de sistemas de desigualdades.

Un sistema de desigualdades es un grupo de desigualdades múltiples. Primero, resuelve cada desigualdad y traza la gráfica para cada desigualdad. La intersección de la gráfica de todas las desigualdades representa la gráfica de los sistemas de desigualdades.

Considere un ejemplo,

Ejemplo: Trazar un gráfico para sistemas de desigualdades.

• 2x + 3y ≤ 6
• x ≤ 3
• y ≤ 2

Solución:

Gráfica para 2x + 3y ≤ 6

La región sombreada del gráfico representa 2x + 3y ≤ 6

Gráfica para x ≤ 3

La región sombreada representa x ≤ 3

Gráfica para y ≤ 2

La región sombreada representa y ≤ 2

Gráfico para un sistema dado de desigualdades.

La región sombreada representa un sistema dado de desigualdades.

Desigualdades – Preguntas frecuentes

¿Cuál es el concepto de desigualdades?

Las desigualdades son las expresiones matemáticas en las que el LHS y el RHS de la expresión son desiguales.

¿Cuáles son los símbolos de las desigualdades?

Los símbolos de desigualdades son:>, <, ≥, ≤ y ≠.

¿Qué es la propiedad transitiva de las desigualdades?

La propiedad transitiva de las desigualdades establece que si a, b, c son tres números, entonces,

• Si a> b y b> c, entonces a> c
• si un
• Si a ≥ b y b ≥ c, entonces a ≥ c
• Si a ≤ b y b ≤ c, entonces a ≤ c