La raíz cuadrada de cualquier valor numérico es un valor que al automultiplicarse da como resultado el número original. ’√’ es el símbolo radical utilizado para representar la raíz de cualquier número. Por raíz cuadrada nos referimos a una potencia 1/2 de ese número. Por ejemplo, supongamos que x es la raíz cuadrada de cualquier número entero y, esto implica que x=√y. Al multiplicar la ecuación también obtenemos x2= y.
La raíz cuadrada del cuadrado de un número positivo da el número original.
Para entender el concepto, sabemos que el cuadrado de 4 es 16, y la raíz cuadrada de 16, √16 = 4. Ahora bien, como podemos ver, 16 es una figura cuadrada perfecta. Esto facilita calcular la raíz cuadrada de dichos números. Sin embargo, para calcular la raíz cuadrada de un cuadrado imperfecto como 3, 5, 7, etc., calcular la raíz es un proceso difícil.
Una función de raíz cuadrada es una función uno a uno que utiliza como entrada un número positivo y devuelve la raíz cuadrada del número de entrada dado.
f(x) = √x
Propiedades de las raíces cuadradas
Algunas de las propiedades importantes de la raíz cuadrada son las siguientes:
- Para un número cuadrado perfecto, existe una raíz cuadrada perfecta.
- Para un número que termina en un número par de ceros, existe una raíz cuadrada.
- La raíz cuadrada de cualquier número negativo no está definida.
- Para un número que termina con los dígitos 2, 3, 7 u 8, entonces la raíz cuadrada perfecta no existe.
- Para un número que termina con los dígitos 1, 4, 5, 6 o 9, el número tendrá una raíz cuadrada.
¿Cómo calcular una raíz cuadrada?
Los números cuadrados perfectos son números enteros de naturaleza positiva y se pueden expresar fácilmente mediante la multiplicación de un número por sí mismo. Los números cuadrados perfectos se representan como el valor de la potencia 2 de cualquier número entero. Calcular la raíz cuadrada de números cuadrados perfectos es relativamente más fácil. Existen principalmente cuatro métodos que se utilizan para encontrar la raíz cuadrada de los números:
- Método de resta repetida de raíz cuadrada
- Raíz cuadrada por método de factorización prima
- Raíz cuadrada por método de estimación
- Raíz cuadrada por método de división larga
Los tres métodos anteriores se pueden utilizar para calcular la raíz cuadrada de números cuadrados perfectos. Sin embargo, el último método se puede utilizar para ambos tipos de números.
Método de resta repetida de raíces cuadradas
El método se basa en la siguiente secuencia de pasos:
Paso 1: Reste números impares consecutivos del número para el cual estamos encontrando la raíz cuadrada.
Paso 2: Repita el paso 1 hasta alcanzar un valor de 0.
Paso 3: El número de veces que se repite el paso 1 es la raíz cuadrada requerida del número dado.
Nota: Este método sólo se puede utilizar para cuadrados perfectos.
Por ejemplo, para el número 16, el método funciona de la siguiente manera:
16 – 1 = 15
15 – 3 =12
12 – 5 = 7
7- 7 = 0
El proceso se repite 4 veces. Por tanto,√16 = 4.
Raíz cuadrada por método de factorización prima
La factorización prima de cualquier número es la representación de ese número en forma de producto de números primos. El método se basa en la siguiente secuencia de pasos:
Paso 1: Divide el número especificado en sus factores primos.
Paso 2: Un par de factores similares se forma de tal manera que ambos factores en cada uno de los pares formados sean iguales.
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Paso 3: Toma un factor de cada uno de los pares.
Etapa 4: El producto de los factores se obtiene tomando un factor de cada par.
Paso 5: Este producto obtenido es la raíz cuadrada del número dado.
Nota: Este método sólo se puede utilizar para cuadrados perfectos.
Por ejemplo, para el número 64, el método funciona de la siguiente manera:
64 = {2 × 2} × {2 × 2} × {2 × 2}
64 = 22× 22× 22
64 = (2 × 2 × 2)2
64 = (8)2
√64 = 8
Raíz cuadrada por método de estimación
El método de estimación se utiliza para aproximar la raíz cuadrada de un número determinado. Aproxima la raíz cuadrada de un número a una estimación razonable del valor real. Los cálculos son más fáciles con este método. Sin embargo, es un proceso realmente largo y que requiere mucho tiempo.
Paso 1: Encuentra el cuadrado perfecto más cercano que se encuentre antes y después del número dado.
Paso 2: Encuentra los siguientes números enteros más cercanos y redondealos cada vez para llegar a la respuesta más cercana.
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Por ejemplo, para el número 15, el método funciona de la siguiente manera:
9 y 16 son los números cuadrados perfectos antes y después del más cercano a 15. Ahora, sabemos,
√16 = 4 y √9 = 3. Esto implica que la raíz cuadrada del número 15 ocurre entre 3 y 4. Ahora, el proceso implica evaluar si la raíz cuadrada del número 15 está más cerca de 3 o 4.
El primer caso es tomar 3,5 y 4. El cuadrado de 3,5 = 12,25 y la raíz cuadrada de 4 = 16. Por lo tanto, la raíz cuadrada del número entero 15 se encuentra entre 3,5 y 4 y está más cerca de 4.
Además, encontramos los cuadrados de 3,8 y 3,9, que equivalen a 3,8.2= 14,44 y 3,92= 15,21 respectivamente. Esto implica que √15 se encuentra entre 3,8 y 3,9. En una evaluación más detallada, obtenemos que √15 = 3,872.
Raíz cuadrada por método de división larga
El método de división larga para calcular la raíz cuadrada de números implica la división de números grandes en pasos o partes, dividiendo así el problema en una secuencia de pasos más sencillos.
Por ejemplo, para el número 180, el método funciona de la siguiente manera:
Paso 1: Se coloca una barra sobre cada par de dígitos del número que comienza con la posición de la unidad.
Paso 2: Luego, el número más a la izquierda se divide por el número más grande de modo que el cuadrado sea menor o igual que el número del par más a la izquierda.
Paso 3: Ahora, el número debajo de la siguiente barra a la derecha del resto baja. El último dígito del cociente obtenido se suma al divisor. Ahora, el siguiente paso es encontrar un número a la derecha de la suma obtenida, de manera que junto con el resultado de la suma, forme un nuevo divisor para el nuevo dividendo.
Etapa 4: El número obtenido en el cociente es equivalente al número seleccionado en el divisor.
Paso 5: Se repite el mismo proceso usando un punto decimal y sumando ceros de dos en dos al resto.
Paso 6: El cociente forma la raíz cuadrada del número.
Preguntas de muestra
Pregunta 1. ¿Calcular la raíz cuadrada de 144 mediante el método de factorización prima?
Solución:
egin{array}l llap{2~~~~} 144 hline llap{2~~~~} 72 hline llap{2~~~~} 36 hline llap{2~~~~} 18 hline llap{3~~~~} 9 hline llap{3~~~~} 3 hline 1 end{array} para bash de bucle144 = {2 × 2} × {2 × 2} × {3 × 3}
144 = 22× 22× 32
144 = (2 × 2 × 3)2
144 = (12)2
√144 = 12
Pregunta 2. ¿Cuál es la forma de simplificar la raíz cuadrada?
Solución:
Se puede calcular la factorización prima del número dado. En caso de que el factor no se pueda agrupar, se utiliza un símbolo de raíz cuadrada para agruparlos. Para simplificar se utiliza la siguiente regla:
√xy = √(x × y), donde xey son números enteros positivos.
Por ejemplo, √12 =
sqrt{2 × 2 × 3} = 2√3En el caso de fracciones se utiliza la siguiente regla:
frac{ sqrt{x}}{sqrt{y}} = sqrt{frac{x}{y}} Por ejemplo:
frac{sqrt50}{sqrt10} = sqrtfrac{50}{10} = √5
Pregunta 3. Resuelve: √(x + 2) = 4
Solución:
Sabemos,
√(x + 2) = 4
Al elevar al cuadrado ambos lados obtenemos;
x + 2 = √4
x + 2 = ±4
x = ±4 – 2
Por lo tanto, tenemos,
x = 2 o x = -6
Pregunta 4. ¿Puede la raíz cuadrada de un número negativo ser un número entero? Explicar.
Solución:
Lo sabemos, los números negativos no pueden tener raíz cuadrada. La razón detrás de esto es que si se multiplican dos números negativos, el resultado obtenido siempre será un número positivo. Por tanto, la raíz cuadrada de un número negativo tendrá la forma de un número complejo.
Pregunta 5. ¿Calcular la raíz cuadrada de 25 mediante el método de resta repetida?
Solución:
Siguiendo los pasos indicados anteriormente, tenemos,
25 – 1 = 24
24 – 3 = 21
21 – 5 = 16
16 – 7 = 9
9 – 9 = 0
Dado que el proceso se repite 5 veces, tenemos √25 = 5.
Pregunta 6. Calcula la raíz cuadrada de 484 por el método de división larga?
Solución:
Por el método de división larga, tenemos,
Ahora,
El resto es 0, por lo tanto, 484 es un número cuadrado perfecto, tal que,
√484 = 22
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