La ecuación de una recta. en un plano se da como y = mx + C donde xey son las coordenadas del plano, m es la pendiente de la recta y C es la intersección. Sin embargo, la construcción de una línea no se limita únicamente a un avión.

Sabemos que una línea es un camino entre dos puntos. Estos dos puntos pueden ubicarse en cualquier lugar, ya sea en un solo plano o en el espacio. En el caso de un plano, la ubicación de la línea se caracteriza por dos coordenadas dispuestas en un par ordenado dado como (x, y) mientras que en el caso del espacio, la ubicación del punto se caracteriza por tres coordenadas expresadas como (x , y, z).

En este artículo, aprenderemos las diferentes formas de ecuaciones de líneas en el espacio 3D.

Tabla de contenidos

• ¿Qué es la ecuación de una recta?
• Ecuación de Línea en 3D
• Forma cartesiana de ecuación de línea en 3D
• Forma vectorial de ecuación de línea en 3D
• Fórmulas de líneas 3D
• Ejemplos resueltos de ecuación de una recta en 3D

¿Qué es la ecuación de una recta?

La ecuación de una recta es una forma algebraica de expresar una recta en términos de las coordenadas de los puntos que une. La ecuación de una recta siempre será una ecuación lineal .

Si intentamos trazar los puntos obtenidos de una ecuación lineal será una línea recta . La ecuación estándar de una recta viene dada por:

hacha + por + c = 0

dónde,

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• a y b son coeficientes de x e y
• c es término constante

Otras formas de la ecuación de línea se mencionan a continuación:

Ahora aprenderemos la ecuación de la recta en 3D.

Ecuación de Línea en 3D

La ecuación de una recta en 3D requiere dos puntos que se encuentran en el espacio. La ubicación de cada punto se da mediante tres coordenadas expresadas como (x, y, z).

La ecuación 3D de una línea se proporciona en dos formatos, forma cartesiana y forma vectorial . En este artículo aprenderemos la ecuación de una línea en 3D tanto en forma cartesiana como vectorial y también aprenderemos a derivar la ecuación. Los diferentes casos de ecuación de línea se enumeran a continuación:

• Forma cartesiana de línea
  • Línea que pasa por dos puntos.
  • Línea que pasa por un punto dado y paralela a un vector dado
• Forma vectorial de línea
  • Línea que pasa por dos puntos.
  • Línea que pasa por un punto dado y paralela a un vector dado

Forma cartesiana de ecuación de línea en 3D

La forma cartesiana de una línea se obtiene utilizando las coordenadas de dos puntos ubicados en el espacio por donde pasa la línea. En esto discutiremos dos casos, cuando la línea pasa por dos puntos y cuando la línea pasa por puntos y es paralela a un vector.

Caso 1: Ecuación 3D de una línea en forma cartesiana que pasa por dos puntos

Supongamos que tenemos dos puntos A y B cuyas coordenadas están dadas como A(x₁, y₁, Con₁) y B(x₂, y₂, Con₂).

Entonces la ecuación 3D de la línea recta en forma cartesiana viene dada como

old{frac{x – x_1} {x_2 – x_1} = frac{y – y_1} {y_2 – y_1} = frac{z -z_1} {z_2 – z_1}}

donde, x, y y z son coordenadas rectangulares.

Derivación de la ecuación de la recta que pasa por dos puntos

Podemos derivar la forma cartesiana de la ecuación 3D de línea recta mediante el uso de los siguientes pasos mencionados:

• Paso 1: Encuentre los DR (relaciones de dirección) tomando la diferencia de las coordenadas de posición correspondientes de los dos puntos dados. yo = (x₂- X₁), metro = (y₂– y₁), norte = (z₂- Con₁); Aquí l, m, norte son los de RD.
• Paso 2: Elija cualquiera de los dos puntos dados, digamos, elegimos (X₁, y₁, Con₁).
• Paso 3: Escribe la ecuación requerida de la recta que pasa por los puntos. (X₁, y₁, Con₁) y (x₂, y₂, Con₂).
• Etapa 4: La ecuación 3D de la línea recta en forma cartesiana se da como L : (x – x₁)/l = (y – y₁)/m = (z – z₁)/n = (x – x₁)/(X₂- X₁) = (y – y₁)/(y₂– y₁) = (z – z₁)/(Con₂- Con₁)

Dónde (x, y, z) son las coordenadas de posición de cualquier punto variable que se encuentre en la línea recta.

Ejemplo: Si una línea recta pasa por dos puntos fijos en 3 dimensiones cuyas coordenadas de posición son P (2, 3, 5) y Q (4, 6, 12), entonces su ecuación cartesiana usando la forma de dos puntos viene dada por

Solución:

l = (4 – 2), metro = (6 – 3), norte = (12 – 5)

l = 2, metro = 3, norte = 7

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Eligiendo el punto P (2, 3, 5)

La ecuación requerida de la recta.

L: (x – 2) / 2 = (y – 3) / 3 = (z – 5) / 7

Caso 2: Ecuación 3D de una recta cartesiana que pasa por un punto y es paralela a un vector dado

Supongamos que la recta pasa por un punto P(x₁, y₁, Con₁) y es paralelo a un vector dado comovec n = ahat i + bhat j + chat k .

Entonces la ecuación de la recta viene dada como

old{frac{x – x_1} a = frac{y – y_1} b = frac{z -z_1} c}

donde, x, y, z son coordenadas rectangulares y a, b, c son cosenos directores.

Derivación de la ecuación 3D de una recta cartesiana que pasa por un punto y es paralela a un vector dado

Supongamos que tenemos un punto P cuyo vector de posición está dado comovec pdesde el origen. Sea la recta que pasa por P es paralela a otro vectorvec n. Tomemos un punto R en la recta que pasa por P, entonces el vector de posición de R viene dado comovec r .

Dado que PR es paralelo avec n⇒overline {PR} = lambda vec n

Ahora si nos movemos sobre la recta PR entonces la coordenada de cualquier punto que se encuentre en la recta tendrá la coordenada en la forma de (x₁+ λa), (y₁+ λb), (z₁+ λc), donde λ es un parámetro cuyo valor va de -∞ a +∞ dependiendo de la dirección desde P hacia donde nos movemos.

Por lo tanto, las coordenadas del nuevo punto serán

x = x₁+ λa ⇒ λ = x – x₁/a

y = y₁+ λb ⇒ λ = y – y₁/b

z = z₁+ λc ⇒ λ = z – z₁/C

Comparando las tres ecuaciones anteriores tenemos la ecuación de la línea como

old{frac{x – x_1} a = frac{y – y_1} b = frac{z -z_1} c}

Ejemplo: Encuentre la ecuación de una recta que pasa por un punto (2, 1, 3) y es paralela a un vector 3i – 2j + k

Solución:

La ecuación de la recta que pasa por un punto y es paralela a un vector se da como

(x-x₁)/a = (y – y₁)/b = (z – z₁)/C

De la pregunta que tenemos, x₁= 2, y₁= 1,z₁= 3 y a = 3, b = -2 y c = k. Por lo tanto, la ecuación requerida de la recta será

⇒ (x – 2)/3 = (y – 1 )/-2 = (z – 3)/1

Forma vectorial de ecuación de línea en 3D

La forma vectorial de la ecuación de la línea en 3D se proporciona mediante una ecuación vectorial que involucra el vector de posición de los puntos. En este epígrafe obtendremos la Ecuación 3D de la recta en forma vectorial para dos casos.

Caso 1: Ecuación 3D de una línea que pasa por dos puntos en forma vectorial

Supongamos que tenemos dos puntos A y B cuyo vector de posición está dado comovec ayvec b.

Entonces la ecuación vectorial de la Línea L viene dada como

vec l = vec a + lambda (vec b – vec a)

dónde(vec b – vec a)es la distancia entre dos puntos y λ es el parámetro que se encuentra en la línea.

Derivación de la ecuación 3D de la línea que pasa por dos puntos en forma vectorial

Supongamos que tenemos dos puntos A y B cuyo vector de posición está dado comovec ayvec b. Ahora sabemos que una línea es la distancia entre dos puntos cualesquiera. Por tanto, necesitamos restar los dos vectores de posición para obtener la distancia.

⇒vec d = vec b – vec a

Ahora sabemos que cualquier punto de esta recta se dará como la suma del vector de posiciónvec a space or space vec b con el producto del parámetro λ y el vector de posición de la distancia entre dos puntos, es decirvec d

Por tanto, la ecuación de la recta en forma vectorial serávec l = vec a + lambda (vec b – vec a)ovec l = vec b + lambda (vec a – vec b)

Ejemplo: Encuentre la ecuación vectorial de una recta en 3D que pasa por dos puntos cuyos vectores de posición están dados como 2i + j – k y 3i + 4j + k.

Solución:

Dado que los dos vectores de posición están dados como 2i + j – k y 3i + 4j + k

Distancia d = (3i + 4j + k) – (2i + j -k) = i + 3j + 2k

Sabemos que la ecuación de la recta viene dada comovec l = vec a + lambda (vec b – vec a)

Por tanto, la ecuación de la recta serávec l= 2i + j – k + λ(i + 3j + 2k)

Caso 2: Forma vectorial de la ecuación 3D de una línea que pasa por un punto y es paralela a un vector

Digamos que tenemos un punto P cuyo vector de posición está dado comovec p. Sea esta línea paralela a otra línea cuyo vector de posición está dado comovec d .

Entonces la ecuación vectorial de la recta 'l' viene dada como

vec l = vec p + lambda vec d

donde λ es el parámetro que se encuentra en la recta.

Derivación de la forma vectorial de la ecuación 3D de una línea que pasa por un punto y es paralela a un vector

Considere un punto P cuyo vector de posición está dado comovec p. Ahora supongamos que esta recta es paralela a un vectorvec dentonces, la ecuación de la recta serávec l = lambda vec d. Ahora bien, dado que la línea también pasa por el punto P, a medida que nos alejamos del punto P en cualquier dirección de la línea, el vector de posición del punto tendrá la forma devec p + lambda vec d . Por tanto, la ecuación de la recta serávec l = vec p + lambda vec ddonde λ es el parámetro que se encuentra en la recta.

Ejemplo: Encuentre la forma vectorial de la ecuación de la recta que pasa por el punto (-1, 3, 2) y es paralela a un vector 5i + 7j – 3k.

Solución:

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Sabemos que la forma vectorial de la ecuación de una recta que pasa por un punto y es paralela a un vector está dada comovec l = vec p + lambda vec d

Dado que el punto es (-1, 3, 2), el vector de posición del punto será -i + 3j + 2k y el vector dado será 5i + 7j – 3k.

Por lo tanto, la ecuación requerida de la recta serávec l = (-i + 3j + 2k) + λ(5i + 7j – 3k).

Fórmulas de líneas 3D

Lecturas similares

• Ecuación de una línea recta
• Tangente y normal
• Pendiente de la línea

Ejemplos resueltos de ecuación de una recta en 3D

Practica ecuaciones de recta en 3D con estas preguntas de práctica resueltas.

Ejemplo 1: Si una línea recta pasa por dos puntos fijos en 3 dimensiones cuyos vectores de posición son (2 i + 3 j + 5 k) y (4 i + 6 j + 12 k), entonces su ecuación vectorial usando los dos puntos la forma está dada por

Solución:

{vec {p}}= (4 i + 6 j + 12 k ) – (2 i + 3 j + 5 k )

{vec {p}}= (2 i + 3 j + 7 k ) ; Aquí{vec {p}}es un vector paralelo a la recta

Eligiendo el vector de posición (2 i + 3 j + 5 k )

La ecuación requerida de la línea recta.

L:{vec {r}}= (2 i + 3 j + 5 k ) + t . (2 i + 3 j + 7 k )

Ejemplo 2: Si una línea recta pasa por dos puntos fijos en el espacio tridimensional cuyas coordenadas de posición son (3, 4, -7) y (1, -1, 6), entonces su ecuación vectorial usando los dos puntos la forma está dada por

Solución:

Los vectores de posición de los puntos dados serán (3 i + 4 j – 7 k) y (i – j + 6 k)

{vec {p}}= (3 yo + 4 j – 7 k) – (yo – j + 6 k)

{vec {p}}= (2 yo + 5 j – 13 k); Aquí{vec {p}}es un vector paralelo a la recta

Elección del vector de posición (i – j + 6 k)

La ecuación requerida de la línea recta.

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L:{vec {r}}= (yo – j + 6k) + t . (2yo + 5j – 13k)

Ejemplo 3: Si una línea recta pasa por dos puntos fijos en el plano tridimensional cuyos vectores de posición son (5 i + 3 j + 7 k) y (2 i + j – 3 k), entonces su ecuación vectorial usa la forma de dos puntos. es dado por

Solución:

{vec {p}}= (5 yo + 3 j + 7 k) – (2 yo + j – 3 k)

{vec {p}}= (3i + 2j + 10k); Aquí{vec {p}}es un vector paralelo a la recta

Elección del vector de posición (2 i + j – 3 k)

La ecuación requerida de la línea recta.

L:{vec {r}}= (2 yo + j – 3 k) + t . (3i + 2j + 10k)

Ejemplo 4: Si una línea recta pasa por dos puntos fijos en 3 dimensiones cuyas coordenadas de posición son A (2, -1, 3) y B (4, 2, 1), entonces su ecuación cartesiana usando los dos puntos la forma está dada por

Solución:

l = (4 – 2), m = (2 – (-1)), n = (1 – 3)

l = 2, metro = 3, norte = -2

Eligiendo el punto A (2, -1, 3)

La ecuación requerida de la recta.

L : (x – 2) / 2 = (y + 1) / 3 = (z – 3) / -2 o

L : (x – 2) / 2 = (y + 1) / 3 = (3 – z) / 2

Ejemplo 5: Si una línea recta pasa por dos puntos fijos en 3 dimensiones cuyas coordenadas de posición son X (2, 3, 4) e Y (5, 3, 10), entonces su ecuación cartesiana usando la forma de dos puntos viene dada por

Solución:

l = (5 – 2), metro = (3 – 3), norte = (10 – 4)

l = 3, metro = 0, norte = 6

Eligiendo el punto X (2, 3, 4)

La ecuación requerida de la recta.

L : (x – 2) / 3 = (y – 3) / 0 = (z – 4) / 6 o

L : (x – 2) / 1 = (y – 3) / 0 = (z – 4) / 2

Ecuación de una recta en 3D – Preguntas frecuentes

¿Qué es la ecuación de una recta en 3D?

La ecuación de una línea en 3D viene dada como (x – x₁)/(X₂- X₁) = (y – y₁)/(y₂– y₁) = (z – z₁)/(Con₂- Con₁)

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¿Qué es la forma cartesiana de la ecuación de una recta en 3D?

Se da la forma cartesiana de la ecuación de la línea en 3D para dos casos

Caso 1: Cuando la recta pasa por dos puntos:{frac{x – x_1} {x_2 – x_1} = frac{y – y_1} {y_2 – y_1} = frac{z -z_1} {z_2 – z_1}}

Caso 2: Cuando una recta pasa por un punto y es paralela a un vector:{frac{x – x_1} a = frac{y – y_1} b = frac{z -z_1} c}

¿Qué es la forma vectorial de la ecuación de una línea en 3D?

La forma vectorial de la ecuación de una recta en 3D se da para dos casos:

Caso 1: Línea que pasa por dos puntos:vec l = vec a + lambda (vec b – vec a)

Caso 2: Línea que pasa por un punto y es paralela a un vector:vec l = vec p + lambda vec d

¿Qué es la ecuación del punto de pendiente de una línea?

La ecuación del punto de pendiente de una línea se da como y = mx + C donde m es la pendiente

¿Cuál es la ecuación estándar de una línea?

La ecuación estándar de una recta es ax + by + c = 0