Agudo, obtuso, isósceles, equilátero... Cuando se trata de triángulos, hay muchas variedades diferentes, pero sólo unas pocas que son 'especiales'. Estos triángulos especiales tienen lados y ángulos que son consistentes y predecibles y pueden usarse para resolver sus problemas de geometría o trigonometría. Y un triángulo 30-60-90 (pronunciado «treinta sesenta noventa») resulta ser, en verdad, un tipo de triángulo muy especial.
En esta guía, le explicaremos qué es un triángulo 30-60-90, por qué funciona y cuándo (y cómo) utilizar sus conocimientos sobre él. ¡Vamos a por ello!
¿Qué es un triángulo 30-60-90?
Un triángulo 30-60-90 es un triángulo rectángulo especial (un triángulo rectángulo es cualquier triángulo que contiene un ángulo de 90 grados) que siempre tiene ángulos de grado de 30 grados, 60 grados y 90 grados. Debido a que es un triángulo especial, también tiene valores de longitud de los lados que siempre están en una relación consistente entre sí.
La relación triangular básica 30-60-90 es:
Lado opuesto al ángulo de 30°: $x$
Lado opuesto al ángulo de 60°: $x * √3$
Lado opuesto al ángulo de 90°: x$
Por ejemplo, un triángulo de 30-60-90 grados podría tener longitudes de lados de:
2, 2√3, 4
7, 7√3, 14
√3, 3, 2√3
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(¿Por qué el cateto más largo es 3? En este triángulo, el cateto más corto ($x$) es $√3$, por lo que para el cateto más largo, $x√3 = √3 * √3 = √9 = 3$. Y la hipotenusa es 2 veces el cateto más corto, o √3$)
Etcétera.
El lado opuesto al ángulo de 30° es siempre el más pequeño , porque 30 grados es el ángulo más pequeño. El lado opuesto al ángulo de 60° será la longitud media , porque 60 grados es el ángulo de grado medio en este triángulo. Y, finalmente, el lado opuesto al ángulo de 90° siempre será el lado más grande (la hipotenusa) porque 90 grados es el ángulo más grande.
Aunque puede parecer similar a otros tipos de triángulos rectángulos, la razón por la que un triángulo 30-60-90 es tan especial es que solo necesitas tres datos para encontrar cada dos medidas. Siempre que conozcas el valor de las medidas de dos ángulos y la longitud de un lado (no importa de qué lado), sabrás todo lo que necesitas saber sobre tu triángulo.
Por ejemplo, podemos usar la fórmula del triángulo 30-60-90 para completar todos los espacios en blanco de información restantes de los triángulos siguientes.
Ejemplo 1
Podemos ver que este es un triángulo rectángulo en el que la hipotenusa mide el doble de la longitud de uno de los catetos. Esto significa que debe ser un triángulo 30-60-90 y el lado más pequeño dado está opuesto a los 30°.
Por lo tanto, el cateto más largo debe estar opuesto al ángulo de 60° y medir * √3$, o √3$.
Ejemplo 2
también modelo
Podemos ver que este debe ser un triángulo 30-60-90 porque podemos ver que es un triángulo rectángulo con una medida dada, 30°. El ángulo no marcado debe ser entonces de 60°.
Como 18 es la medida opuesta al ángulo de 60°, debe ser igual a $x√3$. El cateto más corto debe entonces medir /√3$.
(Tenga en cuenta que la longitud del cateto en realidad será /{√3} * {√3}/{√3} = {18√3}/3 = 6√3$ porque un denominador no puede contener un radical/raíz cuadrada).
Y la hipotenusa será (18/√3)$
(Tenga en cuenta que, nuevamente, no puede tener un radical en el denominador, por lo que la respuesta final en realidad será 2 veces la longitud del cateto de √3$ => √3$).
Ejemplo 3
Nuevamente, nos dan dos medidas de ángulos (90° y 60°), por lo que la tercera medida será 30°. Debido a que este es un triángulo 30-60-90 y la hipotenusa es 30, el cateto más corto será igual a 15 y el cateto más largo será igual a 15√3.
No es necesario consultar la bola ocho mágica: estas reglas siempre funcionan.
Por qué funciona: prueba del teorema del triángulo 30-60-90
Pero, ¿por qué este triángulo especial funciona como lo hace? ¿Cómo sabemos que estas reglas son legítimas? Veamos exactamente cómo funciona el teorema del triángulo 30-60-90 y demostremos por qué las longitudes de estos lados siempre serán consistentes.
Primero, olvidémonos de los triángulos rectángulos por un segundo y miremos una triángulo equilátero.
Un triángulo equilátero es un triángulo que tiene todos los lados iguales y todos los ángulos iguales. Debido a que los ángulos interiores de un triángulo siempre suman 180° y 0/3 = 60$, un triángulo equilátero siempre tendrá tres ángulos de 60°.
Ahora bajemos una altura desde el ángulo superior hasta la base del triángulo.
ahora tenemos Creó dos ángulos rectos y dos triángulos congruentes (iguales).
¿Cómo sabemos que son triángulos iguales? Porque bajamos una altura desde un equilátero triángulo, hemos dividido la base exactamente por la mitad. Los nuevos triángulos también comparten la longitud de un lado (la altura) y cada uno tiene la misma longitud de hipotenusa. Debido a que comparten tres longitudes de lados en común (SSS), esto significa los triángulos son congruentes.
Nota: los dos triángulos no solo son congruentes según los principios de longitudes lado-lado-lado, o SSS, sino también según las medidas lado-ángulo-lado (SAS), ángulo-ángulo-lado (AAS) y ángulo- ángulo lateral (ASA). ¿Básicamente? Definitivamente son congruentes.
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Ahora que hemos probado las congruencias de los dos nuevos triángulos, podemos ver que cada uno de los ángulos superiores debe ser igual a 30 grados (porque cada triángulo ya tiene ángulos de 90° y 60° y debe sumar 180°). Esto significa Hemos hecho dos triángulos 30-60-90.
Y como sabemos que cortamos la base del triángulo equilátero por la mitad, podemos ver que el lado opuesto al ángulo de 30° (el lado más corto) de cada uno de nuestros triángulos 30-60-90 tiene exactamente la mitad de la longitud de la hipotenusa. .
Entonces, llamemos a nuestra longitud lateral original $x$ y a nuestra longitud bisectada $x/2$.
Ahora todo lo que nos queda por hacer es encontrar la longitud del lado medio que comparten los dos triángulos. Para hacer esto, simplemente podemos usar el teorema de Pitágoras.
$a^2 + b^2 = c^2$
$(x/2)^2 + b^2 = x^2$
$b^2 = x^2 - ({x^2}/4)$
$b^2 = {4x^2}/4 - {x^2}/4$
$b^2 = {3x^2}/4$
$b = {√3x}/2$
Entonces nos queda: $x/2, {x√3}/2, x$
Ahora multipliquemos cada medida por 2, sólo para hacer la vida más fácil y evitar todas las fracciones. De esa manera nos queda:
$x$, $x√3$, x$
Podemos ver, por tanto, que un triángulo 30-60-90 siempre tener longitudes laterales consistentes de $x$, $x√3$ y x$ (o $x/2$, ${√3x}/2$ y $x$).
Por suerte para nosotros, podemos demostrar que las reglas del triángulo 30-60-90 son verdaderas sin todo... esto.
Cuándo utilizar las reglas del triángulo 30-60-90
Conocer las reglas del triángulo 30-60-90 podrá ahorrarle tiempo y energía en una multitud de problemas matemáticos diferentes, es decir, una amplia variedad de problemas de geometría y trigonometría.
Geometría
Una comprensión adecuada de los triángulos 30-60-90 le permitirá resolver cuestiones de geometría que serían imposibles de resolver sin conocer estas reglas de proporciones o, al menos, que requerirían un tiempo y esfuerzo considerables para resolverlas en el 'camino largo'.
Con las proporciones especiales de los triángulos, puedes calcular las alturas o longitudes de los catetos que faltan en los triángulos (sin tener que usar el teorema de Pitágoras), encontrar el área de un triángulo usando la información que falta sobre la altura o la longitud de la base y calcular rápidamente los perímetros.
Cada vez que necesite velocidad para responder una pregunta, recordar atajos como las reglas 30-60-90 le resultará útil.
Trigonometría
Memorizar y comprender la proporción triangular 30-60-90 también le permitirá resolver muchos problemas de trigonometría sin necesidad de una calculadora ni de aproximar sus respuestas en forma decimal.
Un triángulo 30-60-90 tiene senos, cosenos y tangentes bastante simples para cada ángulo (y estas medidas siempre serán consistentes).
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El seno de 30° siempre será /2$.
El coseno de 60° siempre será /2$.
Aunque los otros senos, cosenos y tangentes son bastante simples, estos son los dos más fáciles de memorizar y es probable que aparezcan en los exámenes. Entonces, conocer estas reglas te permitirá encontrar estas medidas trigonométricas lo más rápido posible.
Consejos para recordar las reglas 30-60-90
Sabes que estas reglas de proporción 30-60-90 son útiles, pero ¿cómo mantienes la información en tu cabeza? Recordar las reglas del triángulo 30-60-90 es cuestión de recordar la proporción de 1: √3: 2, y saber que la longitud del lado más corto siempre es opuesta al ángulo más corto (30°) y la longitud del lado más largo siempre es opuesta al ángulo más corto (30°). ángulo más grande (90°).
Algunas personas memorizan la proporción pensando: ' $i x$, $o 2 i x$, $i x o √ o3$, ' porque la sucesión '1, 2, 3' suele ser fácil de recordar. La única precaución al usar esta técnica es recordar que el lado más largo es en realidad x$, no los $x$ multiplicados por $√3$.
Otra forma de recordar tus proporciones es Utilice un juego de palabras mnemotécnico en la proporción 1: raíz 3: 2 en el orden correcto. Por ejemplo, 'Jackie Mitchell ponchó a Lou Gehrig y 'también ganó a Ruthy': uno, raíz de tres, dos. (¡Y, además, es un hecho real de la historia del béisbol!)
Experimente con sus propios recursos mnemotécnicos si no le atraen: cante la proporción de una canción, encuentre sus propias frases de 'uno, raíz de tres, dos' o cree un poema de proporción. Incluso puedes recordar que un triángulo 30-60-90 es medio equilátero y calcular las medidas a partir de ahí si no te gusta memorizarlas.
Sin embargo, para usted tiene sentido recordar estas reglas 30-60-90, mantenga esas proporciones en mente para sus futuras preguntas de geometría y trigonometría.
La memorización es tu amiga, como sea que puedas lograr que suceda.
Ejemplo 30-60-90 Preguntas
Ahora que hemos visto los cómo y los porqués de los triángulos 30-60-90, resuelvamos algunos problemas de práctica.
Geometría
Un trabajador de la construcción apoya una escalera de 40 pies contra el costado de un edificio en un ángulo de 30 grados con respecto al suelo. El terreno está nivelado y el costado del edificio es perpendicular al suelo. ¿A qué altura del edificio llega la escalera, al pie más cercano?
Sin conocer nuestras reglas especiales para triángulos 30-60-90, tendríamos que usar trigonometría y una calculadora para encontrar la solución a este problema, ya que solo tenemos la medida de un lado de un triángulo. Pero como sabemos que esto es un especial triángulo, podemos encontrar la respuesta en sólo unos segundos.
Si el edificio y el suelo son perpendiculares entre sí, eso debe significar que el edificio y el suelo forman un ángulo recto (90°). También es un hecho que la escalera toca el suelo en un ángulo de 30°. Por lo tanto, podemos ver que el ángulo restante debe ser de 60°, lo que lo convierte en un triángulo de 30-60-90.
Ahora sabemos que la hipotenusa (el lado más largo) de este 30-60-90 mide 40 pies, lo que significa que el lado más corto tendrá la mitad de esa longitud. (Recuerde que el lado más largo siempre es dos veces—x$—tan largo como el lado más corto). Debido a que el lado más corto está opuesto al ángulo de 30°, y ese ángulo es la medida en grados de la escalera desde el suelo, eso significa que La parte superior de la escalera golpea el edificio a 20 pies del suelo.
Nuestra respuesta final es 20 pies.
Trigonometría
Si, en un triángulo rectángulo, sen Θ = /2$ y la longitud del cateto más corto es 8. ¿Cuál es la longitud del lado faltante que NO es la hipotenusa?
Como conoces las reglas 30-60-90, puedes resolver este problema sin necesidad del teorema de Pitágoras ni de una calculadora.
Nos dijeron que este es un triángulo rectángulo, y sabemos por nuestras reglas especiales para triángulos rectángulos que seno 30° = /2$. Por lo tanto, el ángulo que falta debe ser de 60 grados, lo que lo convierte en un triángulo 30-60-90.
Y como este es un triángulo 30-60-90, y nos dijeron que el lado más corto es 8, la hipotenusa debe ser 16 y el lado faltante debe ser * √3$, o √3$.
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Nuestra respuesta final es 8√3.
Las conclusiones
Recordando el Las reglas para triángulos 30-60-90 te ayudarán a resolver una variedad de problemas matemáticos. . Pero tenga en cuenta que, si bien conocer estas reglas es una herramienta útil que debe tener a mano, aún puede resolver la mayoría de los problemas sin ellas.
Lleve un registro de las reglas de $x$, $x√3$, x$ y 30-60-90 en cualquier forma que tenga sentido para usted y trate de mantenerlas claras si puede, pero no entre en pánico si su mente se queda en blanco cuando llega el momento decisivo. De cualquier manera, tienes esto.
Y, si necesitas más práctica, sigue adelante y mira esto. 30-60-90 prueba triangular . ¡Feliz examen!